Teoremas básicos en la teoría algebraica K

Teorema de aditividad ^{[ 1 ]} — Sea${\displaystyle B,C}$sean categorías exactas (u otras variantes). Dada una secuencia exacta corta de functores${\displaystyle F'\rightarrowtail F\twoheadrightarrow F''}$de${\displaystyle B}$a${\displaystyle C}$,${\displaystyle F_{*}\simeq F'_{*}+F''_{*}}$como${\displaystyle H}$-mapas espaciales; en consecuencia,${\displaystyle F_{*}=F'_{*}+F''_{*}:K_{i}(B)\to K_{i}(C)}$.

Teorema de localización de Waldhausen ^{[ 2 ]} — Sea${\displaystyle A}$sea ​​la categoría con cofibraciones, equipada con dos categorías de equivalencias débiles,${\displaystyle v(A)\subset w(A)}$, de tal manera que${\displaystyle (A,v)}$y${\displaystyle (A,w)}$son ambas categorías de Waldhausen. Supongamos${\displaystyle (A,w)}$tiene un functor de cilindro que satisface el Axioma del Cilindro, y que${\displaystyle w(A)}$satisface los axiomas de saturación y extensión. Entonces

${\displaystyle K(A^{w})\to K(A,v)\to K(A,w)}$

es una fibración homotópica .

Teorema de resolución ^{[ 3 ]} — Sea${\displaystyle C\subset D}$Sean categorías exactas. Supongamos

• (i) C es cerrado bajo extensiones en D y bajo los núcleos de sobreyecciones admisibles en D.
• (ii) Todo objeto en D admite una resolución de longitud finita por objetos en C.

Entonces${\displaystyle K_{i}(C)=K_{i}(D)}$a pesar de${\displaystyle i\geq 0}$.

Teorema de cofinalidad ^{[ 4 ]} — Sea${\displaystyle (A,v)}$Sea una categoría de Waldhausen que tiene un functor de cilindro que satisface el Axioma del Cilindro. Supongamos que existe un homomorfismo sobreyectivo.${\displaystyle \pi :K_{0}(A)\a G}$y dejar${\displaystyle B}$denotan la subcategoría completa de Waldhausen de todos${\displaystyle X}$en${\displaystyle A}$con${\displaystyle \pi [X]=0}$en${\displaystyle G}$. Entonces${\displaystyle vsB\to vsA\to BG}$y su descompresión${\displaystyle K(B)\to K(A)\to G}$son fibraciones homotópicas.