Base (álgebra universal)

Esta condición definirá las bases por el conjunto${\displaystyle L}$del${\displaystyle I}$- funciones elementales arias del álgebra , que son ciertas funciones${\displaystyle \ell }$ que toman cada${\displaystyle m}$como argumento para obtener algún elemento algebraico como valor${\displaystyle \ell (m).}$De hecho, consisten en todas las proyecciones${\displaystyle p_{i}}$con${\displaystyle i}$en${\displaystyle I,}$que son las funciones tales que${\displaystyle p_{i}(m)=m(i)}$para cada${\displaystyle m}$y de todas las funciones que surgen de ellas mediante repetidas "composiciones múltiples" con operaciones del álgebra.

(Cuando una operación algebraica tiene un único elemento algebraico como argumento, el valor de dicha función compuesta es el que la operación toma del valor de un único elemento previamente calculado.${\displaystyle I}$función -aria como en composición . Cuando no lo hace, tales composiciones requieren que muchos (o ninguno para una operación nula)${\displaystyle I}$Las funciones -arias se evalúan antes de la operación algebraica: una por cada posible elemento algebraico en ese argumento. En caso${\displaystyle I}$y el número de elementos en los argumentos, o “ aridad ”, de las operaciones es finito, esta es la composición múltiple finita .

Luego, según la condición externa, se establece una base.${\displaystyle b}$tiene que generar el álgebra (es decir, cuando${\displaystyle \ell }$abarca todo${\displaystyle L}$,${\displaystyle \ell (b)}$obtiene cada elemento algebraico) y deben ser independientes (es decir, siempre que dos${\displaystyle I}$Las funciones elementales -arias coinciden en${\displaystyle b}$Lo harán en todas partes:${\displaystyle \ell '(b)=\ell ''(b)}$implica${\displaystyle \ell '=\ell ''}$). ^{[ 3 ]} Esto es lo mismo que exigir que exista una sola función${\displaystyle \chi }$que toma cada elemento algebraico como argumento para obtener un ${\displaystyle I}$-aria función elemental como valor y satisface${\displaystyle \chi ({\ell (b)})=\ell }$a pesar de${\displaystyle \ell }$en${\displaystyle L}$.

Esta otra condición definirá las bases mediante el conjunto E de los endomorfismos del álgebra, que son los homomorfismos del álgebra en sí misma, a través de su representación analítica.${\displaystyle \varrho }$mediante una base. Esta última es una función que toma cada endomorfismo e como argumento para obtener una función m como valor:${\displaystyle \varrho (e)=m}$, donde esta m es la "muestra" de los valores de e en b , a saber:${\displaystyle m(i)=[\varrho (e)]_{i}=e(b(i))}$para todos los i en el conjunto de dimensiones.

Entonces, según la condición interna b es una base, cuando${\displaystyle \varrho }$es una biyección de E sobre el conjunto de todos los m , es decir, para cada m hay un único endomorfismo e tal que${\displaystyle m=\varrho (e)}$. Esto es lo mismo que requerir que exista una función de extensión , es decir, una función${\displaystyle \eta }$que toma cada (muestra) m como argumento para extenderlo a un endomorfismo ${\displaystyle \eta (m)}$ de tal manera que${\displaystyle \varrho (\eta (m))=m}$. ^{[ 4 ]}

El vínculo entre estas dos condiciones viene dado por la identidad ${\displaystyle [\chi (a)]_{m}=[\eta (m)]_{a}}$, que se cumple para todo m y todos los elementos algebraicos a . ^{[ 5 ]} Se omiten varias otras condiciones que caracterizan las bases para álgebras universales.

Como mostrará el siguiente ejemplo, las bases actuales son una generalización de las bases de los espacios vectoriales. Por lo tanto, el término "marco de referencia" puede sustituir perfectamente a "base". Sin embargo, a diferencia del caso de los espacios vectoriales, un álgebra universal podría carecer de bases y, cuando las tiene, sus conjuntos de dimensiones podrían presentar diferentes cardinalidades positivas finitas. ^{[ 6 ]}

En el álgebra universal correspondiente a un espacio vectorial de dimensión finita, las bases son esencialmente las bases ordenadas de dicho espacio vectorial. Sin embargo, esto se explicará con más detalle posteriormente.

Cuando el espacio vectorial es de dimensión finita, por ejemplo${\displaystyle I=\{0,1,\ldots ,n-1\}}$con${\displaystyle n>0}$, las funciones${\displaystyle \ell }$En el conjunto L de la condición externa, exactamente son aquellos que proporcionan las propiedades de expansión e independencia lineal con combinaciones lineales.${\displaystyle \ell (b)=c_{0}b_{0}+c_{1}b_{1}+\ldots c_{n-1}b_{n-1}}$y la propiedad del generador actual se convierte en la propiedad de generación. Por el contrario, la independencia lineal es una mera instancia de la independencia actual, que se vuelve equivalente a ella en dichos espacios vectoriales. (Además, varias otras generalizaciones de la independencia lineal para álgebras universales no implican la independencia actual).

Las funciones m para la condición interna corresponden a las matrices cuadradas de elementos de campo (es decir, matrices cuadradas usuales de espacios vectoriales) que sirven para construir los endomorfismos de espacios vectoriales (es decir, aplicaciones lineales en sí mismas). Entonces, la condición interna requiere una propiedad de biyección de endomorfismos también a matrices. De hecho, cada columna de dicha matriz representa un vector.${\displaystyle m(i)}$como su n -tupla de coordenadas con respecto a la base b . Por ejemplo, cuando los vectores son n -tuplas de números del campo subyacente y b es la base de Kronecker , m es una matriz de este tipo vista por columnas ,${\displaystyle \varrho }$es la muestra de tal mapeo lineal en los vectores de referencia y${\displaystyle \eta }$Extiende esta muestra a este mapa como se muestra a continuación.

${\displaystyle {}\qquad \left({\begin{array}{rrc}0&-1&2\\-2&3&1\\1&0&2\end{array}}\right)\quad {\begin{array}{c}{\stackrel {\eta }{\longmapsto }}\\{\stackrel {\varrho }{\longleftarrow \!\!{}^{{}_{\!{}_{\mathsf {l}}}}}}\end{array}}\quad \left\{{\begin{array}{rcrccr}x'_{0}&=&&-x_{1}&+&2x_{2}\\x'_{1}&=&-2x_{0}&+3x_{1}&+&x_{2}\\x'_{2}&=&x_{0}&&+&2x_{2}\end{array}}\right.}$

Cuando el espacio vectorial no es de dimensión finita, se necesitan distinciones adicionales. De hecho, aunque las funciones${\displaystyle \ell }$formalmente tienen una infinidad de vectores en cada argumento, las combinaciones lineales que evalúan nunca requieren infinitos adendos.${\displaystyle c_{i}m(i)}$y cada uno${\displaystyle \ell }$determina un subconjunto finito J de${\displaystyle I}$que contiene todos los valores i requeridos . Entonces, cada valor${\displaystyle \ell (m)}$es igual a un${\displaystyle \ell '(m')}$, dónde${\displaystyle m'}$es la restricción de m a J y${\displaystyle \ell '}$es la función elemental J -aria correspondiente a${\displaystyle \ell }$Cuando el${\displaystyle \ell '}$reemplazar el ${\displaystyle \ell }$, tanto la independencia lineal como las propiedades de expansión para conjuntos de bases infinitos se derivan de la condición externa presente y viceversa.

Por lo tanto, en lo que respecta a los espacios vectoriales de dimensión positiva, la única diferencia entre las bases actuales para álgebras universales y las bases ordenadas de espacios vectoriales es que aquí no hay orden en${\displaystyle I}$es necesario. Sin embargo, está permitido, en caso de que cumpla algún propósito.

Cuando el espacio es cero-dimensional, su base ordenada es vacía. Entonces, al ser la función vacía , es una base presente. Sin embargo, dado que este espacio solo contiene el vector nulo y su único endomorfismo es la identidad, cualquier función b de cualquier conjunto${\displaystyle I}$(incluso uno no vacío) para este espacio unitario funciona como una base presente. Esto no es tan extraño desde el punto de vista del álgebra universal, donde las álgebras unitarias, que se denominan "triviales", poseen muchas otras propiedades aparentemente extrañas.

Dejar${\displaystyle I=\{{\mathsf {a,b,c,}}\ldots \}}$Sea un "alfabeto", es decir, un conjunto (generalmente finito) de objetos llamados "letras". Sea W el conjunto correspondiente de palabras o "cadenas", que se denotará como en cadenas , es decir, escribiendo sus letras en secuencia o mediante${\displaystyle \epsilon }$en caso de la palabra vacía ( notación de lenguaje formal ). ^{[ 7 ]} En consecuencia, la yuxtaposición${\displaystyle vw}$denotará la concatenación de dos palabras v y w , es decir, la palabra que comienza con v y va seguida de w .

La concatenación es una operación binaria en W que, junto con la palabra vacía,${\displaystyle \epsilon }$define un monoide libre , el monoide de las palabras en${\displaystyle I}$, que es una de las álgebras universales más simples. Entonces, la condición interna demostrará inmediatamente que una de sus bases es la función b que forma una palabra de una sola letra.${\displaystyle {i}}$de cada letra${\displaystyle {\mathsf {i}}}$,${\displaystyle b({\mathsf {i}})=i}$.

(Dependiendo de la implementación teórica de conjuntos de las secuencias, b puede no ser una función identidad , es decir${\displaystyle i}$puede que no sea${\displaystyle {\mathsf {i}}}$más bien un objeto como${\displaystyle \{(\emptyset ,{\mathsf {i}})\}}$, es decir, una función única, o un par como${\displaystyle (\emptyset ,{\mathsf {i}})}$o${\displaystyle ({\mathsf {i}},\emptyset )}$. ^{[ 7 ]} )

De hecho, en la teoría de los sistemas D0L (Rozemberg y Salomaa 1980) tales${\displaystyle m=\varrho (e)}$son las tablas de "producciones" , que dichos sistemas utilizan para definir las sustituciones simultáneas de cada${\displaystyle i}$con una sola palabra${\displaystyle w=m({\mathsf {i}})}$en cualquier palabra u en W : si${\displaystyle u={i}_{0}{i}_{1}\cdots {i}_{k}}$, entonces${\displaystyle e(u)=m({\mathsf {i}}_{0})m({\mathsf {i}}_{1})\cdots m({\mathsf {i}}_{k})}$. Entonces, b satisface la condición interna , ya que la función${\displaystyle \varrho }$es la biyección bien conocida que identifica cada endomorfismo de palabra con cualquier tabla de este tipo. (Las aplicaciones repetidas de dicho endomorfismo, partiendo de una palabra "semilla" dada, permiten modelar muchos procesos de crecimiento, donde las palabras y la concatenación sirven para construir estructuras bastante heterogéneas, como en el sistema L , no solo "secuencias").