Conjetura de Bass

En matemáticas , especialmente en geometría algebraica , la conjetura de Bass afirma que ciertos grupos algebraicos K deben ser finitamente generados. Esta conjetura fue propuesta por Hyman Bass .

Enunciado de la conjetura

Cualquiera de las siguientes afirmaciones equivalentes se conoce como la conjetura de Bass.

Para cualquier Z -álgebra A finitamente generada , los grupos K ' _n ( A ) son finitamente generados ( teoría K de A- módulos finitamente generados, también conocida como teoría G de A ) para todo n ≥ 0.
Para cualquier Z -álgebra A finitamente generada , que sea un anillo regular , los grupos K _n ( A ) son finitamente generados ( K -teoría de A- módulos localmente libres finitamente generados ).
Para cualquier esquema X de tipo finito sobre Spec ( Z ), K ' _n ( X ) es finitamente generado.
Para cualquier esquema regular X de tipo finito sobre Z , K _n ( X ) es finitamente generado.

La equivalencia de estas afirmaciones se deduce de la concordancia entre la teoría K y la teoría K ' para anillos regulares y la secuencia de localización para la teoría K ' .

Casos conocidos

Daniel Quillen demostró que la conjetura de Bass se cumple para todos los anillos o esquemas (regulares, dependiendo de la versión de la conjetura) de dimensión ≤ 1, es decir, curvas algebraicas sobre cuerpos finitos y el espectro del anillo de enteros en un cuerpo numérico .

El anillo (no regular) A = Z [x, y]/x ² tiene un K ₁ ( A ) generado infinitamente.

Trascendencia

Se sabe que la conjetura de Bass implica la conjetura de desaparición de Beilinson-Soulé . ^{[ 1 ]}

Referencias

↑ Kahn, Bruno (2005), " Teoría K algebraica , ciclos algebraicos y geometría aritmética", en Friedlander, Eric; Grayson, Daniel (eds.), Handbook of Algebraic K-theory , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 351–428 , CiteSeerX 10.1.1.456.6145 , doi : 10.1007/3-540-27855-9_9 , ISBN 978-3-540-23019-9, Teorema 39

Friedlander, Eric M.; Weibel , Charles W. (1999), Una visión general de la K -teoría algebraica , World Sci. Publ., River Edge, NJ, pp. 1–119 , MR 1715873 pág. 53

[1] Kahn, Bruno (2005), " Teoría K algebraica , ciclos algebraicos y geometría aritmética", en Friedlander, Eric; Grayson, Daniel (eds.), Handbook of Algebraic K-theory , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 351–428 , CiteSeerX 10.1.1.456.6145 , doi : 10.1007/3-540-27855-9_9 , ISBN 978-3-540-23019-9, Teorema 39

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