Teorema de Basu

En estadística , el teorema de Basu establece que cualquier estadística mínima suficiente y acotada es independiente de cualquier estadística auxiliar . Este es un resultado de 1955 de Debabrata Basu . ^[1]

Se utiliza a menudo en estadística como herramienta para demostrar la independencia de dos estadísticas, demostrando primero que una es completamente suficiente y la otra es auxiliar, y luego apelando al teorema. ^[2] Un ejemplo de esto es demostrar que la media muestral y la varianza muestral de una distribución normal son estadísticas independientes, lo que se hace en la sección de Ejemplos a continuación. Esta propiedad (independencia de la media muestral y la varianza muestral) caracteriza a las distribuciones normales.

Sea una familia de distribuciones en un espacio medible y una estadística se aplica a algún espacio medible . Si es una estadística suficiente y acotadamente completa para , y es auxiliar a , entonces condicional a , es independiente de . Es decir, . ${\displaystyle (P_{\theta };\theta \en \Theta )}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\estilo de visualización T}$${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle T\perp \!\!\!\perp A|\theta }$

Sean y las distribuciones marginales de y respectivamente. $Estilo de visualización P_{\theta}^{T}}$${\displaystyle P_{\theta}^{A}}$${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización A}$

Denotemos por la preimagen de un conjunto bajo el mapa . Para cualquier conjunto medible tenemos $Estilo de visualización A-1(B)$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle P_{\theta}^{A}(B)=P_{\theta}(A^{-1}(B))=\int _{Y}P_{\theta}(A^{-1}(B)\mid T=t)\ P_{\theta}^{T}(dt).}$

La distribución no depende de porque es auxiliar. Asimismo, no depende de porque es suficiente. Por lo tanto ${\displaystyle P_{\theta}^{A}}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle P_{\theta}(\cdot \mid T=t)}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización T}$

${\displaystyle \int _{Y}{\big [}P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B){\big ]}\ P_{\theta }^{T}(dt)=0.}$

Nótese que el integrando (la función dentro de la integral) es una función de y no de . Por lo tanto, dado que es acotadamente completa, la función ${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización T}$

${\displaystyle g(t)=P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B)}$

es cero para casi todos los valores de y por lo tanto $Estilo de visualización P_{\theta}^{T}}$${\estilo de visualización t}$

${\displaystyle P(A^{-1}(B)\mid T=t)=P^{A}(B)}$

para casi todos . Por lo tanto, es independiente de . ${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización T}$

Sean X ₁ , X ₂ , ..., X _n variables aleatorias normales independientes , idénticamente distribuidas, con media μ y varianza σ ² .

Luego, con respecto al parámetro μ , se puede demostrar que

${\displaystyle {\widehat {\mu}}={\frac {\sum X_{i}}{n}},}$

la media de la muestra es una estadística completa y suficiente – es toda la información que se puede derivar para estimar μ, y no más – y

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},}$

La varianza de la muestra es una estadística auxiliar: su distribución no depende de μ.

Por lo tanto, del teorema de Basu se deduce que estas estadísticas son independientes condicionalmente a , condicionalmente a . ${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Este resultado de independencia también puede demostrarse mediante el teorema de Cochran .

Además, esta propiedad (que la media de la muestra y la varianza de la muestra de la distribución normal son independientes) caracteriza la distribución normal: ninguna otra distribución tiene esta propiedad. ^[3]

• Basu, D. (1955). "Sobre estadísticas independientes de una estadística completa y suficiente". Sankhyā . 15 (4): 377–380. JSTOR  25048259. MR  0074745. Zbl  0068.13401.
• Mukhopadhyay, Nitis (2000). Probabilidad e inferencia estadística . Estadística: una serie de libros de texto y monografías. 162. Florida: CRC Press USA. ISBN 0-8247-0379-0 . 
• Boos, Dennis D.; Oliver, Jacqueline M. Hughes (agosto de 1998). "Aplicaciones del teorema de Basu". The American Statistician . 52 (3): 218–221. doi :10.2307/2685927. JSTOR  2685927. MR  1650407.
• Ghosh, Malay (octubre de 2002). "Teorema de Basu con aplicaciones: una revisión personalista". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Serie A. 64 ( 3): 509–531. JSTOR  25051412. MR  1985397.