Función de Bateman

En matemáticas, la función de Bateman (o función k ) es un caso especial de la función hipergeométrica confluente estudiada por Harry Bateman (1931). ^{[ 1 ] [ 2 ]} Bateman la definió por

${\displaystyle \displaystyle k_{\nu }(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\cos(x\tan \theta -\nu \theta )\,d\theta .}$

Bateman descubrió esta función, cuando Theodore von Kármán pidió la solución de la siguiente ecuación diferencial que apareció en la teoría de la turbulencia ^{[ 3 ].}

${\displaystyle x{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=(x-\nu )u}$

y Bateman encontró esta función como una de las soluciones. Bateman la denominó función "k" en honor a Theodore von Kármán .

La función Bateman para${\displaystyle x>0}$está relacionada con la función hipergeométrica confluente de segundo tipo de la siguiente manera:

${\displaystyle k_{\nu }(x)={\frac {e^{-x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{2}}\nu \right)}}U\left(-{\frac {1}{2}}\nu ,0,2x\right),\quad x>0.}$

Esto no debe confundirse con otra función del mismo nombre que se utiliza en farmacocinética .

Complementaria a la función de Bateman, también se puede definir la función de Havelock, nombrada en honor a Thomas Henry Havelock . De hecho, tanto la función de Bateman como la de Havelock fueron introducidas por primera vez por Havelock en 1927, ^{[ 4 ]} mientras investigaba la elevación de la superficie de una corriente uniforme que pasaba por un cilindro circular sumergido. La función de Havelock se define por

${\displaystyle \displaystyle h_{\nu }(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\sin(x\tan \theta -\nu \theta )\,d\theta .}$

• ${\displaystyle k_{0}(x)=e^{-|x|}}$
• ${\displaystyle k_{-n}(x)=k_{n}(-x)}$
• ${\displaystyle k_{n}(0)={\frac {2}{n\pi }}\sin {\frac {n\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle k_{2}(x)=(x+|x|)e^{-|x|}}$
• ${\displaystyle |k_{n}(x)|\leq 1}$para valores reales de${\displaystyle n}$y${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle k_{2n}(x)=0}$para${\displaystyle x<0}$si${\displaystyle n}$es un número entero positivo
• ${\displaystyle k_{1}(x)={\frac {2x}{\pi }}[K_{1}(x)+K_{0}(x)],\ x<0}$, dónde${\displaystyle K_{n}(-x)}$es la función de Bessel modificada de segundo tipo