Conjetura de Bateman-Horn

En teoría de números , la conjetura de Bateman-Horn es una afirmación relativa a la frecuencia de los números primos entre los valores de un sistema de polinomios , llamada así por los matemáticos Paul T. Bateman y Roger A. Horn, quienes la propusieron en 1962. Proporciona una amplia generalización de conjeturas como la conjetura de Hardy y Littlewood sobre la densidad de primos gemelos o su conjetura sobre primos de la forma n ²  + 1; también es un fortalecimiento de la hipótesis H de Schinzel .

La conjetura de Bateman-Horn proporciona una densidad conjeturada para los enteros positivos en los que un conjunto dado de polinomios tienen todos valores primos. Para un conjunto de m polinomios irreducibles distintos ƒ ₁ , ...,  ƒ _m con coeficientes enteros, una condición necesaria obvia para que los polinomios generen simultáneamente valores primos infinitamente a menudo es que satisfagan la propiedad de Bunyakovsky , de que no existe un número primo p que divida su producto f ( n ) para cada entero positivo n . Porque, si hubiera tal primo p , tener todos los valores de los polinomios simultáneamente primos para un n dado implicaría que al menos uno de ellos debe ser igual a p , lo que solo puede suceder para un número finito de valores de n o habría un polinomio con infinitas raíces, mientras que la conjetura es cómo dar condiciones donde los valores sean simultáneamente primos para un número infinito de n .

Un entero n es generador de primos para el sistema de polinomios dado si cada polinomio ƒ _i ( n ) produce un número primo cuando se le da n como argumento. Si P ( x ) es el número de enteros generadores de primos entre los enteros positivos menores que x , entonces la conjetura de Bateman–Horn establece que

${\displaystyle P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,}$

donde D es el producto de los grados de los polinomios y donde C es el producto sobre los primos p

${\displaystyle C=\prod_{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m}}}\ }$

con el número de soluciones a ${\estilo de visualización N(p)}$

${\displaystyle f(n)\equiv 0{\pmod {p}}.\ }$

La propiedad de Bunyakovsky implica que , para todos los primos p , cada factor del producto infinito C es positivo. Intuitivamente, se espera naturalmente que la constante C sea positiva, y con algo de trabajo esto se puede demostrar. (Se necesita trabajo ya que algunos productos infinitos de números positivos son iguales a cero). ${\displaystyle N(p)<p}$

Como se ha indicado anteriormente, la conjetura no es cierta: el polinomio simple ƒ ₁ ( x ) = − x produce solo números negativos cuando se le da un argumento positivo, por lo que la fracción de números primos entre sus valores siempre es cero. Hay dos formas igualmente válidas de refinar la conjetura para evitar esta dificultad:

• Se puede requerir que todos los polinomios tengan coeficientes principales positivos, de modo que sólo un número constante de sus valores pueda ser negativo.
• Como alternativa, se pueden permitir coeficientes principales negativos pero contar un número negativo como primo cuando su valor absoluto es primo.

Es razonable permitir que los números negativos cuenten como primos como un paso hacia la formulación de conjeturas más generales que se apliquen a otros sistemas de números que no sean los enteros, pero al mismo tiempo es fácil simplemente negar los polinomios si es necesario para reducir al caso en que los coeficientes principales sean positivos.

Si el sistema de polinomios consiste en el único polinomio ƒ ₁ ( x ) =  x , entonces los valores n para los cuales ƒ ₁ ( n ) es primo son ellos mismos los números primos, y la conjetura se convierte en una reformulación del teorema de los números primos .

Si el sistema de polinomios consta de los dos polinomios ƒ ₁ ( x ) =  x y ƒ ₂ ( x ) =  x  + 2, entonces los valores de n para los cuales tanto ƒ ₁ ( n ) como ƒ ₂ ( n ) son primos son simplemente los más pequeños de los dos primos en cada par de primos gemelos . En este caso, la conjetura de Bateman-Horn se reduce a la conjetura de Hardy-Littlewood sobre la densidad de primos gemelos, según la cual el número de pares de primos gemelos menores que x es

${\displaystyle \pi_{2}(x)\sim 2\prod_{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\approx 1.32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

Cuando los enteros se reemplazan por el anillo polinomial F [ u ] para un cuerpo finito F , uno puede preguntarse con qué frecuencia un conjunto finito de polinomios f _i ( x ) en F [ u ][ x ] simultáneamente toma valores irreducibles en F [ u ] cuando sustituimos x elementos de F [ u ]. Las analogías bien conocidas entre los enteros y F [ u ] sugieren un análogo de la conjetura de Bateman-Horn sobre F [ u ], pero el análogo es incorrecto. Por ejemplo, los datos sugieren que el polinomio

${\displaystyle x^{3}+u\,}$

en F ₃ [ u ][ x ] toma (asintóticamente) el número esperado de valores irreducibles cuando x se ejecuta sobre polinomios en F ₃ [ u ] de grado impar, pero parece tomar (asintóticamente) el doble de valores irreducibles de lo esperado cuando x se ejecuta sobre polinomios de grado que es 2 módulo 4, mientras que (demostrablemente) no toma ningún valor irreducible cuando x se ejecuta sobre polinomios no constantes con grado que es un múltiplo de 4. Un análogo de la conjetura de Bateman-Horn sobre F [ u ] que se ajusta a datos numéricos utiliza un factor adicional en la asintótica que depende del valor de d módulo 4, donde d es el grado de los polinomios en F [ u ] sobre los que se muestrea x .

• Bateman, Paul T.; Horn, Roger A. (1962), "Una fórmula asintótica heurística relativa a la distribución de números primos", Mathematics of Computation , 16 (79): 363–367, doi : 10.2307/2004056 , JSTOR  2004056, MR  0148632, Zbl  0105.03302
• Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl1058.11001 ​
• Friedlander, John; Granville, Andrew (1991), "Limitaciones a la distribución equitativa de los números primos. IV.", Actas de la Royal Society A , 435 (1893): 197–204, Bibcode :1991RSPSA.435..197F, doi :10.1098/rspa.1991.0138.
• Soren Laing Alethia-Zomlefer; Lenny Fukshansky; Stephan Ramon Garcia (25 de julio de 2018), UNA CONJETURA PARA GOBERNARLOS A TODOS: BATEMAN–HORN , págs. 1–45, arXiv : 1807.08899