espacio de Bayes

El espacio bayesiano es un espacio de funciones definido como una clase de equivalencia de medidas con los mismos conjuntos nulos . Dos medidas se definen como equivalentes si son proporcionales. Las ideas básicas de los espacios bayesianos tienen sus raíces en el análisis de datos composicionales y la geometría de Aitchison. ^{[ 1 ]} Las aplicaciones teóricas se encuentran principalmente en estadística , específicamente en el análisis de datos funcionales de funciones de densidad , también conocido como análisis de datos de densidad. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Las aplicaciones prácticas se encuentran en geoquímica ^{[ 6 ]} , modelado de COVID-19 ^{[ 7 ]} , análisis de sedimentos ^{[ 8 ]} e investigación del desarrollo ^{[ 9 ]} . Los enfoques alternativos para el análisis de densidad se basan en la métrica de Wasserstein , a menudo denominada regresión de Wasserstein, que también se ha aplicado a la medicina ^{[ 10 ]} .

La estructura básica del espacio de Bayes es la de un espacio vectorial , donde la suma y la multiplicación se definen mediante perturbación y potenciación. ^{[ 11 ]} El espacio se forma sobre un${\displaystyle \sigma }$-medida de referencia/base finita, denotada${\displaystyle \lambda }$o${\displaystyle P}$dependiendo de si es infinito o finito. Las densidades se consideran como derivadas de Radon-Nikodym de las medidas con los mismos conjuntos nulos que la medida base, y son equivalentes si son proporcionales. En el caso de medidas base finitas, la estructura del espacio de Hilbert se puede lograr definiendo una transformación de razón logarítmica centrada en las medidas, asignándolas a un subconjunto de${\displaystyle L^{2}(P)}$que consiste en funciones que integran a 0. ^{[ 12 ]}

Para el análisis de datos, las funciones de densidad se estiman típicamente utilizando las llamadas ZB-splines ^{[ 13 ]} para suavizar un histograma de los datos, utilizando la estimación de densidad de Kernel o utilizando una combinación de ambas.

Consideremos una medida base finita.${\displaystyle P}$(no necesariamente una medida de probabilidad ) en un dominio${\displaystyle \Omega }$. Esto puede ser una distribución uniforme en un intervalo acotado, o puede ser una derivada de Radon-Nikodym de la medida de Lebesgue (la distribución gaussiana , por ejemplo). En la práctica,${\displaystyle \Omega }$a menudo se trunca a un intervalo acotado. Si tomamos dos densidades${\displaystyle f,g}$con respecto a${\displaystyle P}$, se dice que son B-equivalentes si existe un${\displaystyle c>0}$calle${\displaystyle f(x)=c\cdot g(x)}$, denotado${\displaystyle f=_{B}g}$(la convención${\displaystyle c\cdot \infty =\infty }$se utiliza en casos donde una medida es infinita). Se puede demostrar que${\displaystyle (=_{B})}$es una relación de equivalencia. El espacio de Bayes${\displaystyle B(P)}$se define como el espacio cociente de todas las medidas con los mismos conjuntos nulos en${\displaystyle \Omega }$como${\displaystyle P}$bajo la relación de equivalencia${\displaystyle (=_{B})}$.

El primer desafío para analizar las funciones de densidad es que${\displaystyle B(P)}$no es un espacio lineal bajo la suma y multiplicación ordinarias, ya que la diferencia ordinaria entre dos densidades no sería no negativa en todas partes. Al igual que en la geometría de Aitchison para datos de dimensión finita, la perturbación y la potenciación se definen para densidades:

Perturbación

${\textstyle (f\oplus g)(x)=_{B}f(x)\cdot g(x)}$

Potenciando

${\textstyle \alpha \odot f(x)=_{B}f(x)^{\alpha }}$

dónde${\displaystyle f(x),{\text{ }}g(x)}$son densidades en${\displaystyle B(P)}$y${\displaystyle \alpha }$es algún número real . Se puede demostrar utilizando las propiedades de la multiplicación y la potenciación de números reales que${\displaystyle (B(P),\oplus ,\odot )}$forma un espacio vectorial sobre los números reales.

La definición de espacio bayesiano no requiere estrictamente una medida de referencia finita.${\displaystyle P}$. Si el espacio de Bayes se define sobre una medida de referencia infinita${\displaystyle \lambda }$debe ser${\displaystyle \sigma }$-finito (como la medida de Lebesgue ). Sin embargo, la medida de referencia finita es necesaria para agregar estructura de espacio de Hilbert a un subconjunto de${\displaystyle B(P)}$. Consideremos el subespacio

${\textstyle B^{p}(P)=\{f\in B(P)|\int _{\Omega }|\log(f(x))|^{p}dP(x)<\infty \}}$. Para${\displaystyle p=2}$, este es un subespacio lineal e isométricamente isomorfo al espacio de Hilbert.${\textstyle L_{0}^{2}(P)=\{g\in L^{2}(P):\int _{\Omega }g(x)dP(x)=0\}}$mediante la transformación de razón logarítmica centrada (clr)${\displaystyle {\text{clr}}(f(x))=\log(f(x))-{\frac {1}{P(\Omega )}}\int \log(f(x))dP(x)\in L_{0}^{2}(P)}$El subespacio de funciones integrables log-cuadrado se denomina espacio de Bayes-Hilbert. Se puede demostrar que la transformación clr es un isomorfismo lineal entre los dos espacios. Definiendo un producto interno en${\displaystyle B^{2}(P)}$como el producto interno de las transformaciones clr proporcionará la estructura del espacio de Hilbert para${\displaystyle B^{2}(P)}$, obteniendo la transformación de razón logarítmica centrada como una isometría lineal. Específicamente, esto resulta en la distancia de Aitchison entre dos densidades en el mismo espacio de Hilbert de Bayes.

${\displaystyle d(f,g)=\int ({\text{clr}}(f(x)-{\text{clr}}(g(x))^{2}dP(x)}$

que para densidades con respecto a la medida de Lebesgue en un intervalo${\displaystyle \Omega =[a,b]}$"simplifica" a${\displaystyle d(f,g)=\int _{a}^{b}\left(\left[{\text{log}}(f(x)-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}{\text{log}}(f(x))dx\right]-\left[{\text{log}}(g(x)-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}{\text{log}}(g(x))dx\right]\right)^{2}dx}$.

La medida${\displaystyle P}$no tiene por qué ser univariado (unidimensional), sino que también puede definirse como una medida de producto en productos cartesianos , caracterizando densidades bivariadas (bidimensionales) o multivariadas. La estructura geométrica de los espacios de Hilbert puede utilizarse para descomponer densidades multivariadas ortogonalmente en partes independientes y de interacción utilizando el concepto de "marginales geométricas". ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 9 ]} Esta descomposición tiene relación con la teoría de cópulas . ^{[ 15 ]} La geometría en${\displaystyle B^{2}(P)}$define normas sobre densidades que pueden utilizarse para cuantificar la "desviación simplicial relativa", que es una medida de cuánto de una distribución bivariada puede explicarse por la parte de interacción; ^{[ 14 ]} en el caso multivariado la desviación simplicial relativa puede generalizarse a la "composición de la información". ^{[ 15 ]}

• Análisis de datos composicionales
• Análisis de datos funcionales
• Cópulas
• Geometría de la información