Econometría bayesiana

La econometría bayesiana es una rama de la econometría que aplica los principios bayesianos a la modelización económica. El bayesianismo se basa en una interpretación de la probabilidad en función del grado de creencia , en contraposición a una interpretación basada en la frecuencia relativa.

El principio bayesiano se basa en el teorema de Bayes , que establece que la probabilidad de B condicionada a A es la razón entre la probabilidad conjunta de A y B dividida por la probabilidad de B. Los econometristas bayesianos suponen que los coeficientes del modelo tienen distribuciones previas .

Este enfoque fue propagado por primera vez por Arnold Zellner . ^{[ 1 ]}

Las probabilidades subjetivas deben satisfacer los axiomas estándar de la teoría de la probabilidad si se desea evitar perder una apuesta independientemente del resultado. ^{[ 2 ]} Antes de observar los datos, el parámetro${\displaystyle \theta }$se considera una cantidad desconocida y, por lo tanto, una variable aleatoria , a la que se le asigna una distribución previa.${\displaystyle \pi (\theta )}$con${\displaystyle 0\leq \theta \leq 1}$El análisis bayesiano se centra en la inferencia de la distribución posterior .${\displaystyle \pi (\theta |y)}$, es decir, la distribución de la variable aleatoria${\displaystyle \theta }$condicionado a la observación de los datos discretos${\displaystyle y}$. La función de densidad posterior${\displaystyle \pi (\theta |y)}$se puede calcular basándose en el teorema de Bayes :

${\displaystyle \pi (\theta |y)={\frac {p(y|\theta )\pi (\theta )}{p(y)}}}$

dónde${\displaystyle p(y)=\int p(y|\theta )\pi (\theta )d\theta }$, lo que produce una función de probabilidad normalizada. Para datos continuos${\displaystyle y}$, esto corresponde a:

${\displaystyle \pi (\theta |y)={\frac {f(y|\theta )\pi (\theta )}{f(y)}}}$

dónde${\displaystyle f(y)=\int f(y|\theta )\pi (\theta )d\theta }$y que es la pieza central de la estadística bayesiana y la econometría. Tiene los siguientes componentes:

• ${\displaystyle \pi (\theta |y)}$: la función de densidad posterior de${\displaystyle \theta |y}$;
• ${\displaystyle f(y|\theta )}$: la función de verosimilitud , es decir, la función de densidad para los datos observados.${\displaystyle y}$cuando el valor del parámetro es${\displaystyle \theta }$;
• ${\displaystyle \pi (\theta )}$: la distribución previa de${\displaystyle \theta }$;
• ${\displaystyle f(y)}$: la función de densidad de probabilidad de${\displaystyle y}$.

La función posterior viene dada por${\displaystyle \pi (\theta |y)\propto f(y|\theta )\pi (\theta )}$, es decir, la función posterior es proporcional al producto de la función de verosimilitud y la distribución previa, y puede entenderse como un método de actualización de la información, con la diferencia entre${\displaystyle \pi (\theta )}$y${\displaystyle \pi (\theta |y)}$siendo la ganancia de información respecto a${\displaystyle \theta }$después de observar nuevos datos. La elección de la distribución previa se utiliza para imponer restricciones sobre${\displaystyle \theta }$, p.ej${\displaystyle 0\leq \theta \leq 1}$, siendo la distribución beta una opción común debido a que (i) está definida entre 0 y 1, (ii) puede producir una variedad de formas y (iii) produce una distribución posterior de la forma estándar si se combina con la función de verosimilitud.${\displaystyle \theta ^{\Sigma y_{i}}(1-\theta )^{n-\Sigma y_{i}}}$. Basándonos en las propiedades de la distribución beta, un tamaño de muestra cada vez mayor implica que la media de la distribución posterior se aproxima al estimador de máxima verosimilitud.${\displaystyle {\bar {y}}.}$ La forma asumida de la función de verosimilitud forma parte de la información previa y debe justificarse. Se pueden comparar diferentes supuestos de distribución utilizando razones de probabilidades posteriores si los fundamentos a priori no proporcionan una elección clara. Las formas comúnmente asumidas incluyen la distribución beta, la distribución gamma y la distribución uniforme , entre otras. Si el modelo contiene múltiples parámetros, el parámetro puede redefinirse como un vector. Al aplicar la teoría de la probabilidad a ese vector de parámetros se obtienen las distribuciones marginales y condicionales de parámetros individuales o grupos de parámetros. Si la generación de datos es secuencial, los principios bayesianos implican que la distribución posterior para el parámetro basada en nueva evidencia será proporcional al producto de la verosimilitud para los nuevos datos, dados los datos previos y el parámetro, y la distribución posterior para el parámetro, dados los datos antiguos, lo que proporciona una forma intuitiva de permitir que la nueva información influya en las creencias sobre un parámetro a través de la actualización bayesiana . Si el tamaño de la muestra es grande, (i) la distribución previa juega un papel relativamente pequeño en la determinación de la distribución posterior, (ii) la distribución posterior converge a una distribución degenerada en el valor verdadero del parámetro, y (iii) la distribución posterior se distribuye aproximadamente de forma normal con media${\displaystyle {\sombrero {\theta }}}$.

Las ideas subyacentes a la estadística bayesiana fueron desarrolladas por el reverendo Thomas Bayes durante el siglo XVIII y posteriormente ampliadas por Pierre-Simon Laplace . Ya en 1950, Jacob Marschak reconoció el potencial de la inferencia bayesiana en econometría . ^{[ 3 ]} El enfoque bayesiano fue aplicado por primera vez a la econometría a principios de la década de 1960 por WD Fisher, Jacques Drèze , Clifford Hildreth , Thomas J. Rothenberg , George Tiao y Arnold Zellner . La motivación central detrás de estos primeros esfuerzos en econometría bayesiana fue la combinación de los estimadores de parámetros con información incierta disponible sobre los parámetros del modelo que no estaba incluida en una formulación de modelo dada. ^{[ 4 ]} Desde mediados de la década de 1960 hasta mediados de la de 1970, la reformulación de las técnicas econométricas según los principios bayesianos bajo el enfoque estructural tradicional dominó la agenda de investigación, con la obra de Zellner, An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics, en 1971, como uno de sus hitos, y siguiendo así de cerca el trabajo de la econometría frecuentista. En ella, los principales problemas técnicos eran la dificultad de especificar densidades a priori sin perder ni la interpretación económica ni la manejabilidad matemática, y la dificultad del cálculo integral en el contexto de las funciones de densidad. El resultado del programa de reformulación bayesiana fue resaltar la fragilidad de los modelos estructurales ante especificaciones inciertas. Esta fragilidad motivó el trabajo de Edward Leamer , quien criticó enfáticamente la tendencia de los modeladores a caer en la "construcción de modelos a posteriori de datos" y, en consecuencia, desarrolló un método de modelado económico basado en la selección de modelos de regresión según los tipos de especificación de densidad a priori para identificar explícitamente las estructuras a priori subyacentes a las reglas de trabajo de los modeladores en la selección de modelos . ^{[ 5 ]} La econometría bayesiana también resultó atractiva para el intento de Christopher Sims de pasar del modelado estructural al modelado VAR debido a su especificación explícita de probabilidad de las restricciones de los parámetros. Impulsada por el rápido crecimiento de las capacidades de computación desde mediados de la década de 1980, la aplicación de la simulación de Monte Carlo de cadena de Markov a modelos estadísticos y econométricos, realizada por primera vez a principios de la década de 1990, permitió que el análisis bayesiano aumentara drásticamente su influencia en la economía y la econometría. ^{[ 6 ]}

Desde principios del siglo XXI, la investigación en econometría bayesiana se ha concentrado en: ^{[ 7 ]}

• métodos de muestreo adecuados para la paralelización y los cálculos con GPU ;
• modelos económicos complejos que tienen en cuenta los efectos no lineales y las densidades predictivas completas;
• análisis de las características implícitas del modelo y análisis de decisiones ;
• Incorporación de la incompletitud del modelo en el análisis econométrico.

• Koop, Gary; Poirier, Dale J.; Tobias, Justin L. (2007). Métodos econométricos bayesianos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85571-6.
• Lancaster, Tony (2004). Introducción a la econometría bayesiana moderna . Blackwell. ISBN 1-4051-1720-6.
• Zellner, A. (1996). Introducción a la inferencia bayesiana en econometría (Reimpresión de la  edición de 1971). Wiley. ISBN 0-471-16937-4.
• Greenberg, Edward (2012). Introducción a la econometría bayesiana (Segunda  edición). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01531-9.