Estimación bayesiana de plantillas en anatomía computacional

El análisis estadístico de formas y la teoría estadística de formas en anatomía computacional (AC) se realizan en relación con plantillas, por lo que constituyen una teoría local de la estadística de formas. La estimación de plantillas en anatomía computacional a partir de poblaciones de observaciones es una operación fundamental y omnipresente en la disciplina. Han surgido varios métodos para la estimación de plantillas basados ​​en la probabilidad bayesiana y la estadística en el modelo de órbita aleatoria de AC para subvariedades ^{[ 1 ] [ 2 ]} y volúmenes de imágenes densos. ^{[ 3 ]}

El álgebra lineal es una de las herramientas fundamentales de la ingeniería moderna. Un concepto central del álgebra lineal es la noción de órbita de vectores, donde las matrices forman grupos (matrices con inversas e identidad) que actúan sobre los vectores. En álgebra lineal, las ecuaciones que describen los elementos de la órbita son lineales con respecto a los vectores sobre los que actúan las matrices. En anatomía computacional, el espacio de todas las formas se modela como una órbita similar a la de los vectores en álgebra lineal; sin embargo, los grupos no actúan linealmente como las matrices, y las formas no son aditivas. En anatomía computacional, la suma se reemplaza esencialmente por la ley de composición.

El grupo central que actúa como CA se define en volúmenes en ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$son los difeomorfismos${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq Diff}$que son mapeos con 3 componentes${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))}$, ley de composición de funciones${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))}$, con inversa${\displaystyle \phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=id}$.

Los grupos y grupos están familiarizados con la comunidad de ingeniería con la popularización universal y la estandarización del álgebra lineal como un modelo básico.

Una acción grupal popular se basa en imágenes escalares,${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$, con acción a la derecha a través de la inversa.

${\displaystyle \phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

Para subvariedades${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$, parametrizado por una carta o inmersión${\displaystyle m(u),u\in U}$, la acción difeomórfica el flujo de la posición

${\displaystyle \phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U.}$

Se han definido varias acciones grupales en anatomía computacional .

Para el estudio de formas deformables en anatomía computacional, se ha optado por un grupo de difeomorfismos más general, que es el análogo de dimensión infinita. Los grupos de difeomorfismos de alta dimensión utilizados en anatomía computacional se generan mediante flujos suaves.${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$que satisfacen la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria :

con${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$los campos vectoriales en${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$denominada velocidad euleriana de las partículas en la posición${\displaystyle \phi }$del flujo. Los campos vectoriales son funciones en un espacio de funciones , modelado como un espacio de Hilbert suave con los campos vectoriales que tienen derivada 1-continua . Para${\displaystyle v_{t}={\dot {\phi }}_{t}\circ \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$, con la inversa para el flujo dada por

y el${\displaystyle 3\times 3}$Matriz jacobiana para flujos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dado como${\displaystyle \ D\phi \doteq \left({\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Los flujos se introdujeron por primera vez ^{[ 4 ] [ 5 ]} para grandes deformaciones en la coincidencia de imágenes;${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}(x)}$es la velocidad instantánea de la partícula${\displaystyle x}$en ese momento${\displaystyle t}$. con los campos vectoriales denominados velocidad euleriana de las partículas en la posición del flujo. El enfoque de modelado utilizado en CA impone una condición de diferenciabilidad continua en los campos vectoriales al modelar el espacio de campos vectoriales.${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$como un espacio de Hilbert con núcleo reproductor (RKHS), con la norma definida por un operador diferencial biyectivo.${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$, la inversa de Green${\displaystyle K=A^{-1}}$. La norma según${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot vdx,v\in V,}$dónde para${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$una función o distribución generalizada, entonces${\displaystyle (\sigma \mid w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$. Desde${\displaystyle A}$es un operador diferencial, finitud de la norma al cuadrado${\displaystyle \int _{X}Av\cdot vdx<\infty }$incluye derivadas del operador diferencial que implican suavidad de los campos vectoriales.

Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos con inverso, los campos vectoriales${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$deben ser al menos una vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[ 6 ] [ 7 ]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$tiene derivadas integrables al cuadrado de orden 3. Por lo tanto,${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$se incrustan suavemente en funciones continuamente diferenciables 1 vez. ^{[ 6 ] [ 7 ]} El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev:

El modelo estadístico central de anatomía computacional en el contexto de imágenes médicas es el modelo fuente-canal de la teoría de Shannon ; ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} la fuente es la plantilla deformable de imágenes${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$, las salidas del canal son los sensores de imagen con observables${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$La variación en las configuraciones anatómicas se modela por separado de las modalidades de imágenes médicas: máquina de tomografía axial computarizada , máquina de resonancia magnética , máquina de PET y otras. La teoría de Bayes modela la probabilidad a priori sobre la fuente de las imágenes.${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$en${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$y la densidad condicional en las imágenes observables${\displaystyle p(\cdot |I)\ {\text{on}}\ I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$, condicionado a${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$. Para imágenes con acción de grupo de difeomorfismo${\displaystyle I\doteq \phi \cdot I_{\mathrm {temp} },\phi \in Diff_{V}}$, entonces la prior sobre el grupo${\displaystyle \pi _{Diff_{V}}(\cdot )}$induce el prior en las imágenes${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$, escritas como densidades, el logaritmo posterior toma la forma

${\displaystyle \log p(\phi \cdot I\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid \phi \cdot I)+\log \pi _{\operatorname {Diff} _{V}}(\phi )\ .}$

La estimación de máxima probabilidad a posteriori (MAP) es fundamental para la teoría estadística moderna . Parámetros de interés${\displaystyle \theta \in \Theta }$adoptan muchas formas, incluyendo (i) tipo de enfermedad como enfermedades neurodegenerativas o del neurodesarrollo , (ii) tipo de estructura como estructuras corticales o subcorticales en problemas asociados a la segmentación de imágenes, y (iii) reconstrucción de plantillas a partir de poblaciones. Dada la imagen observada${\displaystyle I^{D}}$La estimación MAP maximiza la distribución posterior:

${\displaystyle {\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).}$

Esto requiere el cálculo de las probabilidades condicionales.${\displaystyle p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}}$El modelo de órbita de atlas múltiples aleatoriza sobre el conjunto numerable de atlas.${\displaystyle \{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}}$El modelo de imágenes en órbita adopta la forma de una distribución de mezcla multimodal.

${\displaystyle p(I^{D},\theta )=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .}$

El estudio de la neuroanatomía subcortical ha sido el foco de muchos estudios. Desde las publicaciones originales de Csernansky y colegas sobre el cambio hipocampal en la esquizofrenia, ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} la enfermedad de Alzheimer, ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} y la depresión, ^{[ 21 ] [ 22 ]} muchos estudios estadísticos de la forma neuroanatómica se han completado ahora utilizando plantillas construidas a partir de todas las estructuras subcorticales para la depresión, ^{[ 23 ]} Alzheimer, ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} trastorno bipolar, TDAH, ^{[ 28 ]} autismo, ^{[ 29 ]} y enfermedad de Huntington . ^{[ 30 ] [ 31 ]} Las plantillas se generaron utilizando datos de estimación de plantillas bayesianas que se remontan a Ma, Younes y Miller. ^{[ 32 ]}

En la figura adjunta se muestra un ejemplo de plantillas de estructura subcortical generadas a partir de imágenes de resonancia magnética ponderadas en T1 por Tang et al. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} para el estudio de la enfermedad de Alzheimer en la población de sujetos de ADNI.

Se han realizado numerosos estudios sobre la hipertrofia cardíaca y el papel de las integraciones estructurales en la mecánica funcional del corazón. Siamak Ardekani ha estado trabajando en poblaciones de anatomías cardíacas reconstruyendo sistemas de coordenadas de atlas a partir de poblaciones. ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]} La figura de la derecha muestra el método de anatomía cardíaca computacional que se utiliza para identificar diferencias regionales en el grosor radial en la fase cardíaca telesistólica entre pacientes con miocardiopatía hipertrófica (izquierda) y enfermedad cardíaca hipertensiva (derecha). El mapa de color que se coloca sobre una plantilla de superficie común (malla gris) representa la región (tabique basilar y pared epicárdica anterior) que tiene en promedio un grosor radial significativamente mayor en pacientes con miocardiopatía hipertrófica en comparación con la enfermedad cardíaca hipertensiva (referencia a continuación). ^{[ 33 ]}

Generar plantillas empíricamente a partir de poblaciones es una operación fundamental omnipresente en la disciplina. Han surgido varios métodos basados ​​en la estadística bayesiana para subvariedades y volúmenes de imágenes densos. Para el caso del volumen de imágenes densos, dado el observable${\displaystyle I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots }$El problema consiste en estimar la plantilla en la órbita de imágenes densas.${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$El procedimiento de Ma toma una hiperplantilla inicial.${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$como punto de partida, y modela la plantilla en la órbita bajo el difeomorfismo desconocido que se va a estimar${\displaystyle I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}}$, con los parámetros a estimar las coordenadas logarítmicas${\displaystyle \theta \doteq v_{0}}$determinar el mapeo geodésico de la hiperplantilla${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}}$.

En el modelo de órbita aleatoria bayesiana de anatomía computacional, las imágenes de resonancia magnética observadas${\displaystyle I^{D_{i}}}$se modelan como un campo aleatorio gaussiano condicional con campo medio${\displaystyle \phi _{i}\cdot I}$, con${\displaystyle \phi _{i}}$una transformación aleatoria desconocida de la plantilla. El problema de estimación MAP consiste en estimar la plantilla desconocida.${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$dadas las imágenes de resonancia magnética observadas.

El procedimiento de Ma para imágenes densas toma una hiperplantilla inicial.${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$como punto de partida, y modela la plantilla en la órbita bajo el difeomorfismo desconocido que se va a estimar${\displaystyle I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}}$. Las variables observables se modelan como campos aleatorios condicionales,${\displaystyle I^{D_{i}}}$un campo aleatorio gaussiano condicional con campo medio${\displaystyle \phi _{i}\cdot I\doteq \phi _{i}\cdot \phi _{0}\cdot I_{0}}$. La variable desconocida que debe estimarse explícitamente mediante MAP es el mapeo de la hiperplantilla${\displaystyle \phi _{0}}$, considerando los demás mapeos como variables de confusión u ocultas que se integran mediante el procedimiento de Bayes. Esto se logra utilizando el algoritmo de expectativa-maximización (EM) .

El modelo orbital se aprovecha asociando los flujos desconocidos que se van a estimar a sus coordenadas logarítmicas.${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$a través del logaritmo geodésico riemanniano y exponencial para la anatomía computacional el campo vectorial inicial en el espacio tangente en la identidad de modo que${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \phi _{i}}$, con${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})}$el mapeo de la hiperplantilla. El problema de estimación MAP se convierte en

${\displaystyle \max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv}$

El algoritmo EM toma como datos completos las coordenadas del campo vectorial que parametrizan el mapeo,${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$y calcular iterativamente la expectativa condicional

${\displaystyle {\begin{matrix}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-E(\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )|I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{matrix}}}$

• Calcular una nueva plantilla que maximice la función Q, estableciendo${\displaystyle \theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta$ ;\theta ^{\text{antiguo}}=v_{0}^{\text{antiguo}})=-\|({\bar {I}}^{\text{antiguo}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{antiguo}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}}
• Calcular la aproximación modal para la esperanza actualizando los valores esperados para los valores modales:

${\displaystyle v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\phi }}=v\circ \phi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots }$

${\displaystyle \beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}}$