Modelo bayesiano de anatomía computacional

La anatomía computacional (AC) es una disciplina dentro de la imagen médica que se centra en el estudio de la forma y estructura anatómicas a escala visible o macroscópica . El campo se define ampliamente e incluye fundamentos en anatomía , matemáticas aplicadas y matemáticas puras , incluyendo imagen médica , neurociencia , física , probabilidad y estadística . Se centra en las estructuras anatómicas que se visualizan, en lugar de en los dispositivos de imagen médica. El enfoque central del subcampo de la anatomía computacional dentro de la imagen médica es el mapeo de información a través de sistemas de coordenadas anatómicas, generalmente información densa medida dentro de una imagen de resonancia magnética (IRM). La introducción de flujos en la AC, que son similares a las ecuaciones de movimiento utilizadas en la dinámica de fluidos, aprovecha la noción de que las coordenadas densas en el análisis de imágenes siguen las ecuaciones de movimiento lagrangianas y eulerianas . En los modelos basados ​​en flujos lagrangianos y eulerianos de difeomorfismos, la restricción se asocia a propiedades topológicas, como la preservación de conjuntos abiertos, la no intersección de coordenadas que implica unicidad y existencia de la aplicación inversa, y la permanencia de conjuntos conexos. El uso de métodos difeomórficos creció rápidamente hasta dominar el campo de los métodos de mapeo tras el artículo original de Christensen ^{[ 1 ]} , con la disponibilidad de métodos rápidos y simétricos. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El modelo estadístico central de la Anatomía Computacional en el contexto de la imagen médica ha sido el modelo fuente-canal de la teoría de Shannon ; la fuente es la plantilla deformable de imágenes.${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$, las salidas del canal son los sensores de imagen con observables${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$(ver figura). La importancia del modelo fuente-canal radica en que la variación en la configuración anatómica se modela separada de las variaciones del sensor de las imágenes médicas. La teoría de Bayes dicta que el modelo se caracteriza por la probabilidad a priori sobre la fuente,${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$en${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$y la densidad condicional en el observable

${\displaystyle p(\cdot \mid I){\text{ en }}I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

condicionado a${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$.

En la teoría de plantillas deformables, las imágenes están vinculadas a las plantillas, y las deformaciones constituyen un grupo que actúa sobre la plantilla; véase acción de grupo en anatomía computacional. Para acción de imagen${\displaystyle I(g)\doteq g\cdot I_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}}$, entonces la prior sobre el grupo${\displaystyle \pi _{\mathcal {G}}(\cdot )}$induce el prior en las imágenes${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$, escritas como densidades, el logaritmo posterior toma la forma

${\displaystyle \log p(I(g)\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid I(g))+\log \pi _{\mathcal {G}}(g).}$

El modelo de órbita aleatoria que se describe a continuación especifica cómo generar los elementos del grupo y, por lo tanto, la dispersión aleatoria de objetos que forman la distribución previa.

El modelo de órbita aleatoria de Anatomía Computacional apareció por primera vez en ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} modelando el cambio en las coordenadas asociado a la aleatoriedad del grupo que actúa sobre las plantillas, lo que induce aleatoriedad en la fuente de imágenes en la órbita anatómica de formas y figuras y observaciones resultantes a través de dispositivos de imágenes médicas. Dicho modelo de órbita aleatoria en el que la aleatoriedad en el grupo induce aleatoriedad en las imágenes fue examinado para el Grupo Euclidiano Especial para el reconocimiento de objetos en el que el elemento del grupo ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$era el grupo euclidiano especial en. ^{[ 7 ]}

Para el estudio de la forma deformable en anatomía computacional, los grupos de difeomorfismos de alta dimensión utilizados en anatomía computacional se generan mediante flujos suaves.${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$que satisfacen la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria :

con${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$los campos vectoriales en${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$denominada velocidad euleriana de las partículas en la posición${\displaystyle \varphi }$del flujo. Los campos vectoriales son funciones en un espacio de funciones, modelado como un espacio de Hilbert suave con los campos vectoriales que tienen derivada 1-continua. Para${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$, el inverso del flujo viene dado por

y el${\displaystyle 3\times 3}$Matriz jacobiana para flujos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dado como${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos con inverso, los campos vectoriales${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$deben ser al menos una vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[ 8 ] [ 9 ]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$tiene derivadas integrables al cuadrado de orden 3. Por lo tanto,${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$se incrustan suavemente en funciones continuamente diferenciables 1 vez. ^{[ 8 ] [ 9 ]} El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev:

dónde${\displaystyle \|v_{t}\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx}$con${\displaystyle A}$un operador lineal${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$definiendo la norma del RKHS. La integral se calcula mediante integración por partes cuando${\displaystyle Av}$es una función generalizada en el espacio dual${\displaystyle V^{*}}$.

exponencial riemanniana

En el modelo de órbita aleatoria de anatomía computacional , todo el flujo se reduce a la condición inicial que forma las coordenadas que codifican el difeomorfismo. A partir de la condición inicial${\displaystyle v_{0}}$Luego, el posicionamiento geodésico con respecto a la métrica riemanniana de la anatomía computacional resuelve el flujo de la ecuación de Euler-Lagrange. Resolviendo la geodésica desde la condición inicial${\displaystyle v_{0}}$se denomina exponencial riemanniana, una aplicación${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$en la identidad del grupo.

La exponencial riemanniana satisface${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})=\varphi _{1}}$para la condición inicial${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$dinámica del campo vectorial${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$,

• para la ecuación clásica de momento de forma difeomórfica de la ecuación clásica${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$,${\displaystyle Av\in V}$, entonces

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\$ ;}

• para la ecuación generalizada, entonces${\displaystyle Av\in V^{*}}$,${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

Se extiende a todo el grupo,${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\circ \varphi .}$ En la figura adjunta se muestra una representación de las órbitas aleatorias alrededor de cada ejemplar.${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$, generado mediante la aleatorización del flujo al generar el campo vectorial espacial tangente inicial en la identidad${\displaystyle v_{0}\in V}$y luego generando un objeto aleatorio${\displaystyle n\doteq \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$.

En la figura de la derecha se muestra la órbita de dibujos animados, que consiste en una dispersión aleatoria de las variedades subcorticales generadas al aleatorizar los campos vectoriales.${\displaystyle v_{0}}$soportado sobre las subvariedades. El modelo de órbita aleatoria induce la priorización sobre formas e imágenes.${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$condicionado a un atlas en particular${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$Para ello, el modelo generativo genera el campo medio .${\displaystyle I}$como un cambio aleatorio en las coordenadas de la plantilla según${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$donde el cambio difeomórfico en las coordenadas se genera aleatoriamente a través de los flujos geodésicos.

El modelo de órbita aleatoria induce la información previa sobre formas e imágenes.${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$condicionado a un atlas en particular${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$Para ello, el modelo generativo genera el campo medio.${\displaystyle I}$como un cambio aleatorio en las coordenadas de la plantilla según${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$donde el cambio difeomórfico en coordenadas se genera aleatoriamente a través de los flujos geodésicos. La distribución a priori sobre transformaciones aleatorias${\displaystyle \pi _{\mathrm {Diff} }(d\varphi )}$en${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$es inducido por el flujo${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)}$, con${\displaystyle v\in V}$construido como un campo aleatorio gaussiano a priori${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$. La densidad en las observables aleatorias a la salida del sensor${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$son dados por

${\displaystyle p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

La estimación de máxima probabilidad a posteriori (MAP) es fundamental para la teoría estadística moderna . Parámetros de interés${\displaystyle \theta \in \Theta }$adoptan muchas formas, incluyendo (i) tipo de enfermedad como enfermedades neurodegenerativas o del neurodesarrollo , (ii) tipo de estructura como estructuras corticales o subcorticales en problemas asociados a la segmentación de imágenes, y (iii) reconstrucción de plantillas a partir de poblaciones. Dada la imagen observada${\displaystyle I^{D}}$La estimación MAP maximiza la distribución posterior:

${\displaystyle {\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).}$

Esto requiere el cálculo de las probabilidades condicionales.${\displaystyle p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}}$El modelo de órbita de atlas múltiples aleatoriza sobre el conjunto numerable de atlas.${\displaystyle \{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}}$El modelo de imágenes en órbita adopta la forma de una distribución de mezcla multimodal.

${\displaystyle p(I^{D},\theta )=\sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .}$

El modelo gaussiano condicional ha sido ampliamente estudiado para la coincidencia inexacta en imágenes densas y para la coincidencia de puntos de referencia.

El modelo de órbita aleatoria para múltiples atlas modela la órbita de las formas como la unión sobre múltiples órbitas anatómicas generadas a partir de la acción de grupo de difeomorfismos,${\displaystyle {\mathcal {I}}=\textstyle \bigcup _{a\in {\mathcal {A}}}\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}\cdot I_{a}}$, y cada atlas tiene una plantilla y un campo de segmentación predefinido.${\displaystyle (I_{a},W_{a}),a=a_{1},a_{2},\ldots }$Incorporando la parcelación en estructuras anatómicas de la coordenada de la resonancia magnética. Los pares se indexan sobre la red de vóxeles.${\displaystyle I_{a}(x_{i}),W_{a}(x_{i}),x_{i}\in X\subset {\mathbb {R} }^{3}}$con una imagen de resonancia magnética y un etiquetado denso de cada coordenada de vóxel. El etiquetado anatómico de las estructuras parceladas son delineaciones manuales realizadas por neuroanatomistas.

El problema de segmentación de Bayes ^{[ 10 ]} se da como medida${\displaystyle I^{D}}$con campo medio y parcelación${\displaystyle (I,W)}$, el etiquetado anatómico${\displaystyle \theta \doteq W}$. debe estimarse para la imagen de resonancia magnética medida. El campo medio de lo observable${\displaystyle I^{D}}$La imagen se modela como una deformación aleatoria a partir de una de las plantillas.${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$, que también se selecciona aleatoriamente,${\displaystyle A=a}$,. El difeomorfismo óptimo${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {G}}}$está oculto y actúa sobre el espacio de coordenadas de fondo de la imagen de plantilla seleccionada aleatoriamente.${\displaystyle I_{a}}$Dado un único atlas${\displaystyle a}$El modelo de verosimilitud para la inferencia está determinado por la probabilidad conjunta.${\displaystyle p(I^{D},W\mid A=a)}$; con múltiples atlas, la fusión de las funciones de verosimilitud produce el modelo de mezcla multimodal con el promedio previo sobre los modelos.

El estimador MAP de segmentación ${\displaystyle W_{a}}$ es el maximizador ${\displaystyle \max _{W}\log p(W\mid I^{D})}$dado${\displaystyle I^{D}}$, lo que implica la mezcla de todos los atlas.

${\displaystyle {\hat {W}}\doteq \arg \textstyle \max _{W}\displaystyle \log p(I^{D},W){\text{ with }}p(I^{D},W)=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}\displaystyle p(I^{D},W\mid A=a)\pi _{A}(a).}$

La cantidad${\displaystyle p(I^{D},W)}$se calcula mediante una fusión de probabilidades de múltiples atlas deformables, con${\displaystyle \pi _{A}(a)}$siendo la probabilidad previa de que la imagen observada evolucione a partir de la imagen plantilla específica.${\displaystyle I_{a}}$.

La segmentación MAP se puede resolver iterativamente mediante el algoritmo de expectativa-maximización.

${\displaystyle W^{\text{new}}\doteq \arg \max _{W}\int \log p(W,I^{D},A,\varphi )\,dp(A,\varphi \mid W^{\text{old}},I^{D}).}$

Generar plantillas empíricamente a partir de poblaciones es una operación fundamental omnipresente en la disciplina. Han surgido varios métodos basados ​​en la estadística bayesiana para subvariedades y volúmenes de imágenes densos. Para el caso del volumen de imágenes densos, dado el observable${\displaystyle I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots }$El problema consiste en estimar la plantilla en la órbita de imágenes densas.${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$El procedimiento de Ma toma una hiperplantilla inicial.${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$como punto de partida, y modela la plantilla en la órbita bajo el difeomorfismo desconocido que se va a estimar${\displaystyle I\doteq \varphi _{0}\cdot I_{0}}$, con los parámetros a estimar las coordenadas logarítmicas${\displaystyle \theta \doteq v_{0}}$determinar el mapeo geodésico de la hiperplantilla${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}}$.

En el modelo de órbita aleatoria bayesiana de anatomía computacional, las imágenes de resonancia magnética observadas${\displaystyle I^{D_{i}}}$se modelan como un campo aleatorio gaussiano condicional con campo medio${\displaystyle \varphi _{i}\cdot I}$, con${\displaystyle \varphi _{i}}$una transformación aleatoria desconocida de la plantilla. El problema de estimación MAP consiste en estimar la plantilla desconocida.${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$dadas las imágenes de resonancia magnética observadas.

El procedimiento de Ma para imágenes densas toma una hiperplantilla inicial.${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$como punto de partida, y modela la plantilla en la órbita bajo el difeomorfismo desconocido que se va a estimar${\displaystyle I\doteq \varphi _{0}\cdot I_{0}}$. Las variables observables se modelan como campos aleatorios condicionales,${\displaystyle I^{D_{i}}}$un campo aleatorio gaussiano condicional con campo medio${\displaystyle \varphi _{i}\cdot I\doteq \varphi _{i}\cdot \varphi _{0}\cdot I_{0}}$. La variable desconocida que debe estimarse explícitamente mediante MAP es el mapeo de la hiperplantilla.${\displaystyle \varphi _{0}}$, considerando los demás mapeos como variables de confusión u ocultas que se integran mediante el procedimiento de Bayes. Esto se logra utilizando el algoritmo de expectativa-maximización .

El modelo orbital se aprovecha asociando los flujos desconocidos que se van a estimar a sus coordenadas logarítmicas.${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$a través del logaritmo geodésico riemanniano y exponencial para anatomía computacional el campo vectorial inicial en el espacio tangente en la identidad de modo que${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \varphi _{i}}$, con${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})}$el mapeo de la hiperplantilla. El problema de estimación MAP se convierte en

${\displaystyle \max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv}$

El algoritmo EM toma como datos completos las coordenadas del campo vectorial que parametrizan el mapeo,${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$y calcular iterativamente la expectativa condicional

${\displaystyle {\begin{cases}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-\operatorname {E} (\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\mid I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{cases}}}$

• Calcular una nueva plantilla que maximice la función Q, estableciendo

${\displaystyle \theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta$ ;\theta ^{\text{antiguo}}=v_{0}^{\text{antiguo}})=-\left\|({\bar {I}}^{\text{antiguo}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{antiguo}}}}\right\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}}

• Calcular la aproximación modal para la esperanza actualizando los valores esperados para los valores modales:

${\displaystyle v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots }$

${\displaystyle \beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}}$