Análisis modal operacional bayesiano

El análisis modal operacional bayesiano (BAYOMA) adopta un enfoque de identificación de sistemas bayesiano para el análisis modal operacional (OMA). El análisis modal operacional tiene como objetivo identificar las propiedades modales ( frecuencias naturales , coeficientes de amortiguación , modos de vibración , etc.) de una estructura construida utilizando únicamente su respuesta de vibración (salida) (p. ej., velocidad, aceleración) medida en condiciones de operación. Las excitaciones (entrada) a la estructura no se miden, sino que se asumen como ambientales (aleatorios de banda ancha). En un contexto bayesiano, el conjunto de parámetros modales se considera como parámetros inciertos o variables aleatorias cuya distribución de probabilidad se actualiza desde la distribución previa (antes de los datos) a la distribución posterior (después de los datos). El/los pico(s) de la distribución posterior representa(n) el/los valor(es) más probable(s) ( MPV ) sugerido(s) por los datos, mientras que la dispersión de la distribución alrededor del MPV refleja la incertidumbre restante de los parámetros.

En ausencia de información sobre la carga (de entrada), las propiedades modales identificadas mediante OMA suelen presentar una incertidumbre (o variabilidad) significativamente mayor que las identificadas mediante ensayos de vibración libre o forzada (con datos de entrada conocidos). Por ello, resulta relevante cuantificar y calcular la incertidumbre de identificación de los parámetros modales.

La ventaja de un enfoque bayesiano para OMA es que proporciona un medio fundamental, a través del teorema de Bayes, para procesar la información de los datos y realizar inferencias estadísticas sobre las propiedades modales de una manera coherente con los supuestos del modelo y la lógica de probabilidad.

La desventaja potencial del enfoque bayesiano radica en que su formulación teórica puede ser más compleja y menos intuitiva que la de sus contrapartes no bayesianas. Se requieren algoritmos para el cálculo eficiente de las estadísticas (por ejemplo, media y varianza) de los parámetros modales a partir de la distribución posterior . A diferencia de los métodos no bayesianos, los algoritmos suelen ser implícitos e iterativos. Por ejemplo, pueden emplearse algoritmos de optimización para determinar el valor más probable, los cuales podrían no converger con datos de baja calidad.

Se han desarrollado formulaciones bayesianas para OMA en el dominio del tiempo ^{[ 1 ]} y en el dominio de la frecuencia utilizando la matriz de densidad espectral ^{[ 2 ]} y la transformada rápida de Fourier (FFT) ^{[ 3 ]} de datos de vibración ambiental. Basándose en la formulación para datos FFT, se han desarrollado algoritmos rápidos para calcular las estadísticas posteriores de los parámetros modales. ^{[ 4 ]} Desarrollos recientes basados ​​en el algoritmo EM ^{[ 5 ]} muestran potencial para algoritmos más simples y un menor esfuerzo de codificación. El límite de precisión fundamental de OMA se ha investigado y presentado como un conjunto de leyes de incertidumbre que pueden utilizarse para planificar ensayos de vibración ambiental. ^{[ 6 ]}

El método bayesiano y el método de máxima verosimilitud (no bayesiano) se basan en diferentes perspectivas filosóficas, pero están conectados matemáticamente; véase, por ejemplo, ^{[ 7 ]} y la Sección 9.6 de ^{[ 4 ]} . Por ejemplo,

• Suponiendo una distribución a priori uniforme, el valor más probable (VMP) de los parámetros en un método bayesiano es igual a la ubicación donde se maximiza la función de verosimilitud , que es la estimación en el método de máxima verosimilitud.
• Bajo una aproximación gaussiana de la distribución posterior de los parámetros, su matriz de covarianza es igual a la inversa de la matriz hessiana del logaritmo negativo de la función de verosimilitud en el MPV. Generalmente, esta covarianza depende de los datos. Sin embargo, si se asume (hipotéticamente; no bayesiano) que los datos se distribuyen efectivamente según la función de verosimilitud, entonces para un tamaño de conjunto de datos grande se puede demostrar que la matriz de covarianza es asintóticamente igual a la inversa de la matriz de información de Fisher (FIM) de los parámetros (que tiene un origen no bayesiano). Esto coincide con la cota de Cramer-Rao en estadística clásica, que proporciona la cota inferior (en el sentido de desigualdad matricial) de la varianza del conjunto de cualquier estimador insesgado. Dicha cota inferior puede alcanzarse mediante el estimador de máxima verosimilitud para un tamaño de conjunto de datos grande.
• En el contexto anterior, para grandes conjuntos de datos, la matriz de covarianza asintótica de los parámetros modales depende de los valores de los parámetros "verdaderos" (un concepto no bayesiano), a menudo de forma implícita. Resulta que, al aplicar supuestos adicionales como una amortiguación pequeña y una alta relación señal-ruido , la matriz de covarianza tiene una forma asintótica matemáticamente manejable, lo que proporciona información sobre el límite de precisión alcanzable de OMA y puede utilizarse para guiar la planificación de pruebas de vibración ambiental. Esto se conoce colectivamente como "ley de incertidumbre". ^{[ 6 ]}

• Análisis modal operacional
• Inferencia bayesiana
• Vibraciones ambientales
• Microtemblor
• Análisis modal
• Pruebas modales

• Véanse las monografías sobre OMA no bayesiano ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} y OMA bayesiano ^{[ 4 ].}

• Consulte los conjuntos de datos de OMA ^{[ 11 ]}

• Consulte Jaynes ^{[ 12 ]} y Cox ^{[ 13 ]} para obtener información general sobre la inferencia bayesiana.
• Véase Beck ^{[ 14 ]} para inferencia bayesiana en dinámica estructural (relevante para OMA).

• La incertidumbre de los parámetros modales en OMA también puede cuantificarse y calcularse de forma no bayesiana. Véase Pintelon et al. ^{[ 15 ]}