El algoritmo de Beeman

El algoritmo de Beeman es un método para integrar numéricamente ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, más específicamente las ecuaciones de movimiento de Newton.${\displaystyle {\ddot {x}}=A(x)}$Fue diseñado para permitir un gran número de partículas en simulaciones de dinámica molecular. Existe una variante directa o explícita y una implícita del método. La variante directa fue publicada por Schofield en 1973 ^{[ 1 ]} como una comunicación personal de Beeman. Esto es lo que comúnmente se conoce como el método de Beeman . Es una variante del método de integración de Verlet . Produce posiciones idénticas, pero utiliza una fórmula diferente para las velocidades. Beeman publicó en 1976 ^{[ 2 ]} una clase de métodos implícitos (predictor-corrector) de múltiples pasos, donde el método de Beeman es la variante directa del método de tercer orden en esta clase.

La fórmula utilizada para calcular las posiciones en el tiempo${\displaystyle t+\Delta t}$En el esquema completo predictor-corrector ^{[ 2 ]} es:

• Predecir${\displaystyle x(t+\Delta t)}$a partir de datos en ocasiones${\displaystyle t}$y${\displaystyle t-\Delta t}$$${\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\bigl [}4a(t)-a(t-\Delta t){\bigr ]}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$$
• Posición y velocidades correctas en el momento${\displaystyle t+\Delta t}$a partir de datos en ocasiones${\displaystyle t}$y${\displaystyle t+\Delta t}$mediante la evaluación repetida de la ecuación diferencial para obtener la aceleración${\displaystyle a(t+\Delta t)}$y de las ecuaciones del sistema implícito$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\bigl [}a(t+\Delta t)+2a(t){\bigr ]}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\\[1ex]v(t+\Delta t)\Delta t&=x(t+\Delta t)-x(t)+{\frac {1}{6}}{\bigl [}2a(t+\Delta t)+a(t){\bigr ]}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\end{aligned}}}$$En las pruebas se comprobó que este paso corrector debe repetirse como máximo dos veces. Los valores de la derecha son los valores anteriores de las últimas iteraciones, lo que da como resultado los nuevos valores de la izquierda.

Utilizando únicamente la fórmula predictora y el corrector para las velocidades se obtiene un método directo o explícito ^{[ 1 ]} que es una variante del método de integración de Verlet: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\bigl [}4a(t)-a(t-\Delta t){\bigr ]}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})\\v(t+\Delta t)&=v(t)+{\frac {1}{6}}{\bigl [}2a(t+\Delta t)+5a(t)-a(t-\Delta t){\bigr ]}\Delta t+O(\Delta t^{3});\end{aligned}}}$$

Esta es la variante que se suele entender como el método de Beeman .

Beeman ^{[ 2 ]} también propuso reemplazar alternativamente la actualización de velocidad en la última ecuación por el método de Adams-Moulton de segundo orden :

$${\displaystyle v(t+\Delta t)=v(t)+{\frac {1}{12}}{\bigl [}5a(t+\Delta t)+8a(t)-a(t-\Delta t){\bigr ]}\Delta t+O(\Delta t^{3})}$$

dónde

• ${\displaystyle t}$es el tiempo presente (es decir, variable independiente)
• ${\displaystyle \Delta t}$es el tamaño del paso de tiempo
• ${\displaystyle x(t)}$es la posición en el tiempo t
• ${\displaystyle v(t)}$es la velocidad en el instante t
• ${\displaystyle a(t)}$es la aceleración en el instante t, calculada como una función de${\displaystyle x(t)}$
• El último término es el término de error, utilizando la notación de la gran O.

En sistemas donde las fuerzas son función de la velocidad además de la posición, las ecuaciones anteriores deben modificarse a una forma predictor-corrector en la que las velocidades en el tiempo${\displaystyle t+\Delta t}$Se predicen las velocidades y se calculan las fuerzas, antes de producir una forma corregida de las mismas.

Un ejemplo es:

$${\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {2}{3}}a(t)\Delta t^{2}-{\frac {1}{6}}a(t-\Delta t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$$

Las velocidades en el tiempo${\displaystyle t=t+\Delta t}$Luego se calculan (predicen) a partir de las posiciones.

$${\displaystyle v(t+\Delta t)~{\text{(predicho)}}=v(t)+{\frac {3}{2}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{2}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).}$$

Las aceleraciones${\displaystyle a(t+\Delta t)}$en ese momento${\displaystyle t=t+\Delta t}$Luego se calculan a partir de las posiciones y las velocidades previstas, y se corrigen las velocidades.

$${\displaystyle v(t+\Delta t)~{\text{(corregido)}}=v(t)+{\frac {5}{12}}a(t+\Delta t)\Delta t+{\frac {2}{3}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{12}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).}$$

Como se muestra arriba, el término de error local es${\displaystyle O(\Delta t^{4})}$para el puesto y${\displaystyle O(\Delta t^{3})}$velocidad, lo que resulta en un error global de${\displaystyle O(\Delta t^{3})}$En comparación, Verlet es${\displaystyle O(\Delta t^{2})}$para la posición y la velocidad. A cambio de una mayor precisión, el algoritmo de Beeman es moderadamente más costoso en términos computacionales.

La simulación debe realizar un seguimiento de la posición, la velocidad, la aceleración y los vectores de aceleración anteriores por partícula (aunque son posibles algunas soluciones ingeniosas para almacenar el vector de aceleración anterior), manteniendo sus requisitos de memoria a la par con el método de Verlet de velocidad y siendo ligeramente más costoso que el método de Verlet original.