Modelado del comportamiento

El enfoque conductual de la teoría de sistemas y la teoría de control fue iniciado a finales de la década de 1970 por J.C. Willems como resultado de la resolución de inconsistencias presentes en los enfoques clásicos basados ​​en representaciones de espacio de estados, función de transferencia y convolución. Este enfoque también está motivado por el objetivo de obtener un marco general para el análisis y control de sistemas que respete la física subyacente .

El objeto principal en el contexto del comportamiento es el comportamiento: el conjunto de todas las señales compatibles con el sistema. Una característica importante del enfoque conductual es que no distingue una prioridad entre las variables de entrada y salida. Además de fundamentar rigurosamente la teoría y el control de sistemas, el enfoque conductual unificó los enfoques existentes y aportó nuevos resultados sobre la controlabilidad de sistemas nD , el control mediante interconexión ^{[ 1 ]} y la identificación de sistemas ^{[ 2 ]} .

En el contexto del comportamiento, un sistema dinámico es un sistema triple

${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

dónde

• ${\displaystyle \mathbb {T} \subseteq \mathbb {R} }$es el "conjunto de tiempo" – las instancias de tiempo sobre las cuales evoluciona el sistema,
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$es el "espacio de señales" – el conjunto en el que las variables cuya evolución temporal se modela toman sus valores, y
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$el "comportamiento" – el conjunto de señales que son compatibles con las leyes del sistema

(${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$denota el conjunto de todas las señales, es decir, funciones de${\displaystyle \mathbb {T} }$en${\displaystyle \mathbb {W} }$).

${\displaystyle w\in {\mathcal {B}}}$significa que${\displaystyle w}$es una trayectoria del sistema, mientras que${\displaystyle w\notin {\mathcal {B}}}$significa que las leyes del sistema prohíben la trayectoria${\displaystyle w}$para que suceda. Antes de que se modele el fenómeno, cada señal en${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$se considera posible, mientras que después del modelado, solo los resultados en${\displaystyle {\mathcal {B}}}$permanecen como posibilidades.

Casos especiales:

• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} }$– sistemas de tiempo continuo
• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$– sistemas de tiempo discreto
• ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{q}}$– la mayoría de los sistemas físicos
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$un conjunto finito – sistemas de eventos discretos

Las propiedades del sistema se definen en términos del comportamiento. El sistema${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$Se dice que

• "lineal" si${\displaystyle \mathbb {W} }$es un espacio vectorial y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subespacio lineal de${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$,
• "invariante en el tiempo" si el conjunto de tiempo consta de los números reales o naturales y

${\displaystyle \sigma ^{t}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}}$a pesar de${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$,

dónde${\displaystyle \sigma ^{t}}$denota el${\displaystyle t}$-desplazamiento, definido por

${\displaystyle \sigma ^{t}(f)(t'):=f(t'+t)}$.

En estas definiciones, la linealidad articula la ley de superposición , mientras que la invariancia temporal articula que el desplazamiento temporal de una trayectoria legal es, a su vez, una trayectoria legal.

Un "sistema diferencial lineal invariante en el tiempo" es un sistema dinámico.${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q},{\mathcal {B}})}$cuyo comportamiento${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es el conjunto solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes${\displaystyle R(d/dt)w=0}$, dónde${\displaystyle R}$es una matriz de polinomios con coeficientes reales. Los coeficientes de${\displaystyle R}$son los parámetros del modelo. Para definir el comportamiento correspondiente, necesitamos especificar cuándo consideramos una señal.${\displaystyle w:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$ser una solución de${\displaystyle R(d/dt)w=0}$Para facilitar la exposición, a menudo se consideran soluciones infinitas diferenciables. Existen otras posibilidades, como tomar soluciones distribucionales o soluciones en${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\rm {local}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})}$y con las ecuaciones diferenciales ordinarias interpretadas en el sentido de distribuciones. El comportamiento definido es

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{w\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})~|~R(d/dt)w(t)=0{\text{ para todo }}t\in \mathbb {R} \}.}$

Esta forma particular de representar el sistema se denomina "representación del núcleo" del sistema dinámico correspondiente. Existen muchas otras representaciones útiles del mismo comportamiento, como la función de transferencia, el espacio de estados y la convolución.

Para consultar fuentes accesibles sobre el enfoque conductual, véase ^{[ 3 ]} . ^{[ 4 ]}

Una cuestión clave del enfoque conductual es si una cantidad w1 puede deducirse a partir de una cantidad observada w2 y un modelo . Si w1 puede deducirse a partir de w2 y el modelo, se dice que w2 es observable . En términos de modelado matemático, la cantidad o variable que se pretende deducir se denomina variable latente , y la variable observada, variable manifiesta. Dicho sistema se denomina entonces sistema observable (de variable latente).

• Paolo Rapisarda y Jan C. Willems, 2006. Avances recientes en la teoría de sistemas conductuales , 24-28 de julio de 2006, MTNS 2006, Kioto, Japón.
• JC Willems. Terminales y puertos. Revista IEEE Circuits and Systems, volumen 10, número 4, páginas 8-16, diciembre de 2010.
• JC Willems y HL Trentelman. Sobre formas diferenciales cuadráticas. SIAM Journal on Control and Optimization, Volumen 36, páginas 1702-1749, 1998.
• JC Willems. Paradigmas y enigmas en la teoría de sistemas dinámicos. IEEE Transactions on Automatic Control, Volumen 36, páginas 259-294, 1991.
• JC Willems. Modelos para la dinámica. Dynamics Reported, Volumen 2, páginas 171-269, 1989.