Fórmula de Bellard

La fórmula de Bellard se utiliza para calcular el enésimo dígito de π en base 16 .

La fórmula de Bellard fue descubierta por Fabrice Bellard en 1997. Es aproximadamente un 43 % más rápida que la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe (descubierta en 1995). ^{[ 1 ] [ 2 ]} Se ha utilizado en PiHex , el proyecto de computación distribuida ya finalizado .

Una aplicación importante es la verificación de cálculos de todos los dígitos de pi realizados por otros medios. En lugar de tener que calcular todos los dígitos dos veces mediante dos algoritmos distintos para asegurar que un cálculo sea correcto, los dígitos finales de un cálculo muy largo de todos los dígitos pueden verificarse mediante la fórmula de Bellard, mucho más rápida. ^{[ 3 ]}

Fórmula:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\,\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}\right.&{}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}\left.{}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\end{aligned}}}$

• Página de investigador privado de Fabrice Bellard
• Sitio web de PiHex
• Fórmula BBP de David Bailey, Peter Borwein y Simon Plouffe ( Sobre el cálculo rápido de varias constantes polilogarítmicas ) (PDF)