Problema con la correa

El problema de la correa es un problema matemático que requiere hallar la longitud de una correa cruzada que conecta dos poleas circulares con radios r ₁ y r ₂ cuyos centros están separados por una distancia P. La solución del problema de la correa requiere trigonometría y los conceptos de línea bitangente , ángulo opuesto por el vértice y ángulos congruentes .

Es evidente que los triángulos ACO y ADO son triángulos rectángulos congruentes , al igual que los triángulos BEO y BFO. Además, los triángulos ACO y BEO son semejantes . Por lo tanto, los ángulos CAO, DAO, EBO y FBO son todos iguales. Denotando este ángulo por${\displaystyle \varphi }$(expresada en radianes ), la longitud del cinturón es

${\displaystyle CO+DO+EO+FO+{\text{arco}}CD+{\text{arco}}EF\,\!}$

${\displaystyle =2r_{1}\tan(\varphi )+2r_{2}\tan(\varphi )+(2\pi -2\varphi )r_{1}+(2\pi -2\varphi )r_{2}\,\!}$

${\displaystyle =2(r_{1}+r_{2})(\tan(\varphi )+\pi -\varphi )\,\!}$

Esto aprovecha la conveniencia de denominar los ángulos en radianes, de modo que la longitud de un arco = radio × medida del ángulo que apunta hacia el arco .

Para encontrar${\displaystyle \varphi }$Vemos por la semejanza de los triángulos ACO y BEO que

${\displaystyle {\frac {AO}{BO}}={\frac {AC}{BE}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {Px}{x}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {P}{x}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{r_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow {x}={\frac {Pr_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {r_{2}}{x}}={\frac {r_{2}}{\left({\dfrac {Pr_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{P}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow \varphi =\arccos \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{P}}\right)\,\!}$

Para un valor fijo de P, la longitud del cinturón depende únicamente de la suma de los valores de los radios r ₁  + r ₂ , y no de sus valores individuales. 

Hay otros tipos de problemas similares al problema de la correa. El problema de la polea , como se muestra, es similar al problema de la correa; sin embargo, la correa no se cruza a sí misma. En el problema de la polea, la longitud de la correa es

${\displaystyle 2P\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)+r_{1}(2\pi -\theta )+r_{2}{\theta }\,,}$

donde r ₁ representa el radio de la polea más grande, r ₂ representa el radio de la polea más pequeña, y:

${\displaystyle \theta =2\arccos \left({\frac {r_{1}-r_{2}}{P}}\right)\,.}$

El problema de la correa se utiliza ^{[ 1 ]} en el diseño de aviones , engranajes de bicicletas , automóviles y otros elementos con poleas o correas que se cruzan. El problema de la polea también se utiliza en el diseño de cintas transportadoras que se encuentran en las cintas de equipaje de los aeropuertos y en las líneas de producción automatizadas . ^{[ 2 ]}

• Líneas tangentes a círculos