Teorema de Beltrami

En el campo matemático de la geometría diferencial , cualquier métrica ( pseudo ) riemanniana determina una clase determinada de trayectorias conocidas como geodésicas . El teorema de Beltrami , que lleva el nombre del matemático italiano Eugenio Beltrami , es un resultado sobre el problema inverso de determinar una métrica (pseudo)riemanniana a partir de sus geodésicas.

Resulta no trivial observar que, en cualquier variedad riemanniana de curvatura constante , existen coordenadas suaves con respecto a las cuales todas las geodésicas no constantes aparecen como líneas rectas. En el caso de curvatura negativa de la geometría hiperbólica , esto se justifica mediante el modelo de Beltrami-Klein . En el caso de curvatura positiva de la geometría esférica , se justifica mediante la proyección gnomónica . En el lenguaje de la geometría diferencial proyectiva , estos diagramas muestran que cualquier variedad riemanniana de curvatura constante es localmente proyectivamente plana. De forma más general, cualquier variedad pseudoriemanniana de curvatura constante es localmente proyectivamente plana. ^{[ 1 ]}

El teorema de Beltrami afirma lo contrario: cualquier variedad pseudoriemanniana conexa que sea localmente proyectivamente plana debe tener curvatura constante. ^{[ 2 ]} Con el uso del cálculo tensorial , la demostración es directa. Hermann Weyl describió la demostración original de Beltrami (realizada en el caso riemanniano bidimensional) como mucho más complicada. ^{[ 3 ]} En relación con una carta proyectivamente plana, existen funciones ρ _i tales que los símbolos de Christoffel toman la forma

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\rho _{i}\delta _{j}^{k}+\rho _{j}\delta _{i}^{k}.}$

El cálculo directo muestra entonces que el tensor de curvatura de Riemann viene dado por

${\displaystyle R_{ijkl}=(\partial _{i}\rho _{j}-\partial _{j}\rho _{i})g_{kl}+g_{jl}(\partial _{i}\rho _{k}-\rho _{i}\rho _{k})-g_{il}(\partial _{j}\rho _{k}-\rho _{j}\rho _{k}).}$

La simetría de curvatura R _ijkl + R _jikl = 0 implica que ∂ _i ρ _j = ∂ _j ρ _i . La otra simetría de curvatura R _ijkl = R _klij , trazada sobre i y l , entonces dice que

${\displaystyle \partial _{j}\rho _{k}-\rho _{j}\rho _{k}=g_{jk}{\frac {g^{il}(\partial _{i}\rho _{l}-\rho _{i}\rho _{l})}{n}}}$

donde n es la dimensión de la variedad. Es directo verificar que el lado izquierdo es un tensor de Codazzi (definido localmente), usando solo la forma dada de los símbolos de Christoffel. Del lema de Schur se deduce que g ^il (∂ _i ρ _l − ρ _i ρ _l ) es constante. Sustituyendo la identidad anterior en el tensor de Riemann dado anteriormente, se deduce que el dominio de la carta tiene una curvatura seccional constante − ⁠ 1 / n ⁠ g ^il (∂ _i ρ _l − ρ _i ρ _l ) . Por la conexidad de la variedad, esta constancia local implica constancia global.

El teorema de Beltrami puede formularse en el lenguaje de los mapas geodésicos : si se da un mapa geodésico entre variedades pseudoriemannianas, una variedad tiene curvatura constante si y solo si la otra la tiene.

Fuentes.

• Weisstein, Eric W. "El teorema de Beltrami" . MathWorld .