Teorema de Belyi

En matemáticas , el teorema de Belyi sobre curvas algebraicas establece que cualquier curva algebraica no singular C , definida por coeficientes numéricos algebraicos , representa una superficie de Riemann compacta que es un recubrimiento ramificado de la esfera de Riemann , ramificado en solo tres puntos.

Este es un resultado de GV Belyi de 1979. En aquel momento se consideró sorprendente e impulsó a Grothendieck a desarrollar su teoría de los dibujos infantiles , que describe curvas algebraicas no singulares sobre los números algebraicos utilizando datos combinatorios.

Cocientes del semiplano superior

De ello se deduce que la superficie de Riemann en cuestión puede tomarse como el cociente

H /Γ

(donde H es el semiplano superior y Γ es un subgrupo de índice finito en el grupo modular ) compactificado por cúspides . Dado que el grupo modular tiene subgrupos de no congruencia , no es la conclusión que cualquier curva de este tipo sea una curva modular .

Funciones de Belyi

Una función de Belyi es una aplicación holomorfa de una superficie de Riemann compacta S a la línea proyectiva compleja P ¹ ( C ) ramificada solo sobre tres puntos, que después de una transformación de Möbius se puede tomar como $\{0,1,\infty \}$ Las funciones de Belyi pueden describirse combinatoriamente mediante dibujos infantiles .

Las funciones de Belyi y los dibujos infantiles —pero no el teorema de Belyi— se remontan al menos a la obra de Felix Klein ; él los utilizó en su artículo ( Klein 1879 ) para estudiar un recubrimiento de 11 dimensiones de la recta proyectiva compleja con grupo de monodromía PSL(2,11). ^{[ 1 ]}

Aplicaciones

El teorema de Belyi es un teorema de existencia para las funciones de Belyi y, posteriormente, se ha utilizado mucho en el problema inverso de Galois .

Referencias

^ le Bruyn, Lieven (2008), Los dibujos de niños de Klein y la buckyball.

Serre, Jean-Pierre (1997). Lecciones sobre el teorema de Mordell-Weil . Aspectos de las Matemáticas. Vol. 15. Traducido del francés por Martin Brown a partir de notas de Michel Waldschmidt (Tercera ed.). Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig. doi : 10.1007/978-3-663-10632-6 . ISBN 3-528-28968-6. MR 1757192 .
Klein, Félix (1879). "Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen" [ Sobre la transformación de undécimo orden de funciones elípticas ] . Mathematische Annalen (en alemán). 15 ( 3– 4): 533– 555. doi : 10.1007/BF02086276 .
Belyĭ, Gennadiĭ Vladimirovich (1980). "Extensiones de Galois de un cuerpo ciclotómico maximal". Math. USSR Izv . 14 (2). Traducido por Neal Koblitz : 247–256 . doi : 10.1070/IM1980v014n02ABEH001096 . MR 0534593 .

Lecturas adicionales

Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino (2012), Introducción a las superficies compactas de Riemann y diseños de niños , London Mathematical Society Student Texts, vol. 79, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253.30001
Wushi Goldring (2012), «Temas unificadores sugeridos por el teorema de Belyi», en Dorian Goldfeld; Jay Jorgenson; Peter Jones; Dinakar Ramakrishnan; Kenneth A. Ribet; John Tate (eds.), Teoría de números, análisis y geometría. En memoria de Serge Lang , Springer, pp. 181–214 , ISBN 978-1-4614-1259-5

[1] Bruyn, Lieven (2008), Los dibujos de niños de Klein y la buckyball.

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