Involución de Bender-Knuth

En combinatoria algebraica , una involución de Bender-Knuth es una involución en el conjunto de tableaux semiestándar , introducida por Bender y Knuth (1972 , pp. 46-47) en su estudio de particiones planas . 

Las involuciones de Bender-Knuth${\displaystyle \sigma _{k}}$están definidos para números enteros${\displaystyle k}$y actúan sobre el conjunto de cuadros de Young sesgados semiestándar de alguna forma fija.${\displaystyle \mu /\nu }$, dónde${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$son particiones. Actúa cambiando algunos de los elementos${\displaystyle k}$del cuadro a${\displaystyle k+1}$y algunas de las entradas${\displaystyle k+1}$a${\displaystyle k}$, de tal manera que los números de elementos con valores${\displaystyle k}$o${\displaystyle k+1}$se intercambian. Llame a una entrada del cuadro gratis si es${\displaystyle k}$o${\displaystyle k+1}$y no hay ningún otro elemento con valor${\displaystyle k}$o${\displaystyle k+1}$en la misma columna. Para cualquier${\displaystyle i}$, las entradas gratuitas de la fila${\displaystyle i}$están todas en columnas consecutivas y constan de${\displaystyle a_{i}}$copias de${\displaystyle k}$seguido de${\displaystyle b_{i}}$copias de${\displaystyle k+1}$, para algunos${\displaystyle a_{i}}$y${\displaystyle b_{i}}$La involución Bender-Knuth${\displaystyle \sigma _{k}}$los reemplaza con ${\displaystyle b_{i}}$copias de${\displaystyle k}$seguido de${\displaystyle a_{i}}$copias de${\displaystyle k+1}$.

Las involuciones de Bender-Knuth pueden utilizarse para demostrar que el número de tableaux sesgados semiestándar de forma y peso determinados permanece invariable ante permutaciones del peso. Esto, a su vez, implica que la función de Schur de una partición es una función simétrica.

Las involuciones de Bender-Knuth fueron utilizadas por Stembridge (2002) para dar una demostración breve de la regla de Littlewood-Richardson .

• Bender, Edward A.; Knuth, Donald E. (1972), "Enumeración de particiones planas", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 13 (1): 40– 54, doi : 10.1016/0097-3165(72)90007-6 , ISSN 1096-0899 , MR 0299574  
• Stembridge, John R. (2002), "Una demostración concisa de la regla de Littlewood-Richardson" (PDF) , Electronic Journal of Combinatorics , 9 (1): Nota 5, 4 págs. (electrónico), doi : 10.37236/1666 , ISSN 1077-8926 , MR 1912814