La desigualdad de Bendixson

En matemáticas , la desigualdad de Bendixson es un resultado cuantitativo en el campo de las matrices derivado por Ivar Bendixson en 1902. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La desigualdad impone límites a las partes imaginaria y real de las raíces características (autovalores) de matrices reales. ^{[ 3 ]} Un caso especial de esta desigualdad conduce al resultado de que las raíces características de una matriz simétrica real son siempre reales.

La desigualdad relativa a las partes imaginarias de las raíces características de matrices reales se enuncia como: ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)}$ser un verdadero${\displaystyle n\times n}$matriz y${\displaystyle \alpha =\max _{1\leq i,j\leq n}{\frac {1}{2}}\left|a_{ij}-a_{ji}\right|}$. Si${\displaystyle \lambda }$es cualquier raíz característica de${\displaystyle A}$, entonces

${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (\lambda )\right|\leq \alpha {\sqrt {\frac {n(n-1)}{2}}}.\,{}}$^{[ 4 ]}

Si${\displaystyle A}$entonces es simétrico${\displaystyle \alpha =0}$y, en consecuencia, la desigualdad implica que${\displaystyle \lambda }$Debe ser real.

La desigualdad relativa a las partes reales de las raíces características de matrices reales (Teorema II en ^{[ 1 ]} ) se enuncia como:

Dejar${\displaystyle m}$y${\displaystyle M}$sean las raíces características más pequeñas y más grandes de${\displaystyle {\tfrac {A+A^{H}}{2}}}$, entonces

${\displaystyle m\leq \operatorname {Re} (\lambda )\leq M}$.

• Teorema del círculo de Gershgorin