Distribución Benini

En probabilidad , estadística , economía y ciencias actuariales , la distribución de Benini es una distribución de probabilidad continua que constituye una distribución estadística de tamaño frecuentemente aplicada para modelar ingresos, gravedad de reclamaciones o pérdidas en aplicaciones actuariales y otros datos económicos. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Su comportamiento de cola decae más rápidamente que una ley de potencias, pero no tan rápido como una exponencial. Esta distribución fue introducida por Rodolfo Benini en 1905. ^{[ 3 ]} Algo después del trabajo original de Benini, la distribución ha sido descubierta o discutida de forma independiente por varios autores. ^{[ 4 ]}

La distribución de Benini${\displaystyle \operatorname {Benini} (\alpha ,\beta ,\sigma )}$es una distribución de tres parámetros, que tiene una función de distribución acumulativa (CDF).

${\displaystyle F(x)=1-\exp {\big \{}-\alpha (\log x-\log \sigma )-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}{\big \}}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\alpha -\beta \log {\left({\frac {x}{\sigma }}\right)}},}$

dónde${\displaystyle x\geq \sigma }$, los parámetros de forma α , β > 0 y σ > 0 son un parámetro de escala.

Para mayor parsimonia, Benini ^{[ 3 ]} consideró únicamente el modelo de dos parámetros (con α = 0), con CDF

${\displaystyle F(x)=1-\exp {\big \{}-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}{\big \}}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\beta (\log x-\log \sigma )}.}$

La densidad del modelo de Benini de dos parámetros es

${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta }{x}}\exp \left\{-\beta \left[\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right)\right]^{2}\right\}\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right),\quad x\geq \sigma >0.}$

Una variable de Benini de dos parámetros puede generarse mediante el método de transformación de probabilidad inversa . Para el modelo de dos parámetros, la función cuantil (CDF inversa) es

${\displaystyle F^{-1}(u)=\sigma \exp {\sqrt {-{\frac {1}{\beta }}\log(1-u)}},\quad 0<u<1.}$

• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Benini} (\alpha ,0,\sigma )}$, entonces X tiene una distribución de Pareto con${\displaystyle x_{\text{m}}=\sigma .}$
• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Benini} (0,{\tfrac {1}{2\sigma ^{2}}},1)}$, entonces ${\displaystyle X\sim e^{U}}$, dónde ${\displaystyle U\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma ).}$

La densidad de distribución de Benini de dos parámetros, la distribución de probabilidad, la función cuantil y el generador de números aleatorios están implementados en el paquete VGAM para R , que también proporciona una estimación de máxima verosimilitud del parámetro de forma. ^{[ 5 ]}

• Distribución de probabilidad condicional
• Distribución de probabilidad conjunta
• Distribución de cuasiprobabilidad
• Distribución de probabilidad empírica
• Histograma
• Aplicación de la integral de Riemann-Stieltjes a la teoría de la probabilidad

• Distribución de Benini en Wolfram Mathematica (definición y gráficos de la función de densidad de probabilidad)