Integral de Berezin

La integral de Berezin sobre la única variable de Grassmann${\displaystyle \theta =\theta _{1}}$se define como un funcional lineal

${\displaystyle \int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} }$

donde definimos

${\displaystyle \int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0}$

de modo que  :

${\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}$

Estas propiedades definen la integral de forma única e implican

${\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle f(\theta )=a\theta +b}$es la función más general de${\displaystyle \theta }$porque las variables de Grassmann se reducen al cuadrado a cero, por lo tanto${\displaystyle f(\theta )}$no puede tener términos distintos de cero más allá del orden lineal.

La integral de Berezin en${\displaystyle \Lambda ^{n}}$se define como el único funcional lineal${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\cdot {\textrm {d}}\theta }$con las siguientes propiedades:

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,\ i=1,\dots ,n}$

para cualquier${\displaystyle f\in \Lambda ^{n},}$dónde${\displaystyle \partial /\partial \theta _{i}}$significa la derivada parcial izquierda o derecha . Estas propiedades definen la integral de forma única.

Nótese que existen diferentes convenciones en la literatura: algunos autores definen en cambio ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta$ :=1.}

La fórmula

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}}$

expresa la ley de Fubini. En el lado derecho, la integral interior de un monomio${\displaystyle f=g(\theta ')\theta _{1}}$está previsto que sea${\displaystyle g(\theta '),}$dónde${\displaystyle \theta '=\left(\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right)}$; la integral de${\displaystyle f=g(\theta ')}$se desvanece. La integral con respecto a${\displaystyle \theta _{2}}$se calcula de forma similar y así sucesivamente.

Dejar${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n,}$sean polinomios impares en algunas variables antisimétricas${\displaystyle \xi _{1},\ldots ,\xi _{n}}$El jacobiano es la matriz

${\displaystyle D=\left\{{\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \xi _{j}}},\ i,j=1,\ldots ,n\right\},}$

dónde${\displaystyle \partial /\partial \xi _{j}}$se refiere a la derivada derecha (${\displaystyle \partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{2}=\theta _{1},\;\partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{1}=-\theta _{2}}$). La fórmula para el cambio de coordenadas es:

${\displaystyle \int f(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\,\mathrm {d} \xi .}$

Consideremos ahora el álgebra${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$de funciones de variables reales conmutativas${\displaystyle x=x_{1},\ldots ,x_{m}}$y de variables anticonmutativas${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$(que se llama superálgebra libre de dimensión${\displaystyle (m|n)}$). Intuitivamente, una función${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$es una función de m variables pares (bosónicas, conmutativas) y de n variables impares (fermiónicas, anticonmutativas). Más formalmente, un elemento${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$es una función del argumento${\displaystyle x}$que varía en un conjunto abierto${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{m}}$con valores en el álgebra${\displaystyle \Lambda ^{n}.}$Supongamos que esta función es continua y se anula en el complemento de un conjunto compacto.${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}.}$La integral de Berezin es el número

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\,\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta .}$

Sea una transformación de coordenadas dada por${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n,}$dónde${\displaystyle x_{i}}$son pares y${\displaystyle \theta _{j}}$son polinomios impares de${\displaystyle \xi }$dependiendo de variables pares${\displaystyle y.}$La matriz jacobiana de esta transformación tiene la siguiente forma de bloque:

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

donde cada derivado par${\displaystyle \partial /\partial y_{j}}$conmuta con todos los elementos del álgebra${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$; las derivadas impares conmutan con los elementos pares y anticonmutan con los elementos impares. Las entradas de los bloques diagonales${\displaystyle A=\partial x/\partial y}$y${\displaystyle D=\partial \theta /\partial \xi }$son pares y las entradas de los bloques fuera de la diagonal${\displaystyle B=\partial x/\partial \xi ,\ C=\partial \theta /\partial y}$son funciones impares, donde${\displaystyle \partial /\partial \xi _{j}}$nuevamente significa derivadas derechas .

Cuando la función${\displaystyle D}$es invertible en${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n},}$

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&B\\0&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&0\\D^{-1}C&I\end{pmatrix}}}$

Así pues, tenemos el Bereziniano (o superdeterminante ) de la matriz.${\displaystyle \mathrm {J} }$, que es la función par

${\displaystyle \operatorname {Ber} \mathrm {J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)(\det D)^{-1}}$

Supongamos que las funciones reales${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,0)}$definir un mapa suave e invertible${\displaystyle F:Y\to X}$de conjuntos abiertos${\displaystyle X,Y}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$y la parte lineal del mapa${\displaystyle \xi \mapsto \theta =\theta (y,\xi )}$es invertible para cada${\displaystyle y\in Y.}$La ley general de transformación para la integral de Berezin es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \operatorname {Ber} \mathrm {J} \,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y\\[6pt]={}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y,\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \varepsilon =\mathrm {sgn} (\det \partial x(y,0)/\partial y}$) es el signo de la orientación del mapa${\displaystyle F.}$La superposición${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))}$se define de la manera obvia, si las funciones${\displaystyle x_{i}(y,\xi )}$no depender de${\displaystyle \xi .}$En el caso general, escribimos${\displaystyle x_{i}(y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{i},}$dónde${\displaystyle \delta _{i},i=1,\ldots ,m}$son incluso elementos nilpotentes de${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$y establecer

${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\theta )+\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots ,}$

donde la serie de Taylor es finita.