La desigualdad de Bernoulli

El exponente${\displaystyle r}$se puede generalizar a un número real arbitrario de la siguiente manera: si${\displaystyle x>-1}$, entonces

${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$

para${\displaystyle r\leq 0}$o${\displaystyle \geq 1}$, y

${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}$

para${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$.

Esta generalización puede demostrarse mediante convexidad (véase más abajo) o comparando derivadas . Las versiones estrictas de estas desigualdades requieren${\displaystyle x\neq 0}$y${\displaystyle r\neq 0,1}$.

El caso${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$también se puede derivar del caso${\displaystyle r\geq 1}$al observar que (utilizando el resultado del caso principal)${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{r}}\right)^{r}\geq 1+x=\left[(1+x)^{\frac {1}{r}}\right]^{r}}$y utilizando el hecho de que${\displaystyle f(x)=x^{r}}$es monótono. Podemos concluir que${\displaystyle 1+x/r\geq (1+x)^{\frac {1}{r}}}$para${\displaystyle r\geq 1}$, por lo tanto${\displaystyle (1+x)^{l}\leq 1+lx}$para${\displaystyle 0<l=1/r\leq 1}$El caso restante${\displaystyle l=0}$se verifica por separado.

En lugar de${\displaystyle (1+x)^{n}}$La desigualdad se cumple también en la forma${\displaystyle (1+x_{1})(1+x_{2})\dots (1+x_{r})\geq 1+x_{1}+x_{2}+\dots +x_{r}}$dónde${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{r}}$son números reales, todos mayores que${\displaystyle -1}$, todos con el mismo signo. La desigualdad de Bernoulli es un caso especial cuando${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{r}=x}$Esta desigualdad generalizada puede demostrarse mediante inducción matemática.

El siguiente teorema presenta una versión reforzada de la desigualdad de Bernoulli, incorporando términos adicionales para refinar la estimación bajo condiciones específicas. Sea el exponente${\displaystyle r}$Sea un número entero no negativo y sea${\displaystyle x}$ser un número real con${\displaystyle x\geq -2}$ si${\displaystyle r}$es impar y mayor que 1. Entonces

${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx+\lfloor r/2\rfloor x^{2}}$

con igualdad si y solo si${\displaystyle r\in \{0,1,2\}}$o${\displaystyle x\in \{-2,0\}}$. ^{[ 4 ]}

Una demostración elemental para${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$y${\displaystyle x\geq -1}$se puede dar utilizando AM-GM ponderado .

Dejar${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$sean dos constantes reales no negativas. Por AM-GM ponderado en${\displaystyle 1,1+x}$con pesas${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$respectivamente, obtenemos

${\displaystyle {\dfrac {\lambda _{1}\cdot 1+\lambda _{2}\cdot (1+x)}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\geq {\sqrt[{\lambda _{1}+\lambda _{2}}]{(1+x)^{\lambda _{2}}}}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\dfrac {\lambda _{1}\cdot 1+\lambda _{2}\cdot (1+x)}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}={\dfrac {\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{2}x}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}=1+{\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}x}$

y

${\displaystyle {\sqrt[{\lambda _{1}+\lambda _{2}}]{(1+x)^{\lambda _{2}}}}=(1+x)^{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}},}$

por lo tanto nuestra desigualdad es equivalente a

${\displaystyle 1+{\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}x\geq (1+x)^{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

Después de sustituir${\displaystyle r={\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}$(teniendo en cuenta que esto implica${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$) nuestra desigualdad se convierte en

${\displaystyle 1+rx\geq (1+x)^{r}}$

que es la desigualdad de Bernoulli para${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$.

El caso${\displaystyle r\geq 1}$puede derivarse de${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$de la misma manera que el caso${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$puede derivarse de${\displaystyle r\geq 1}$(véase más arriba "Generalización del exponente").

La desigualdad de Bernoulli

es equivalente a

y mediante la fórmula de la serie geométrica (usando y = 1 + x ) obtenemos

lo que conduce a

Ahora bien, si${\displaystyle x\geq 0}$entonces, por monotonía de los poderes, cada sumando${\displaystyle (1+x)^{k}-1=(1+x)^{k}-1^{k}\geq 0}$y por lo tanto su suma es mayor que${\displaystyle 0}$y por lo tanto el producto en el lado izquierdo de ( 4 ).

Si${\displaystyle 0\geq x\geq -2}$Entonces, por los mismos argumentos,${\displaystyle 1\geq (1+x)^{k}}$y por lo tanto todos los sumandos${\displaystyle (1+x)^{k}-1}$son no positivos y, por lo tanto, su suma también lo es. Dado que el producto de dos números no positivos es no negativo, obtenemos nuevamente ( 4 ).

Se puede demostrar la desigualdad de Bernoulli para x ≥ 0 usando el teorema del binomio . Es trivialmente cierto para r = 0, así que supongamos que r es un entero positivo. Entonces${\displaystyle (1+x)^{r}=1+rx+{\tbinom {r}{2}}x^{2}+...+{\tbinom {r}{r}}x^{r}.}$Claramente${\displaystyle {\tbinom {r}{2}}x^{2}+...+{\tbinom {r}{r}}x^{r}\geq 0,}$y por lo tanto${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$según sea necesario.

Para${\displaystyle 0\neq x>-1}$la función${\displaystyle h(\alpha )=(1+x)^{\alpha }}$es estrictamente convexa. Por lo tanto, para${\displaystyle 0<\alpha <1}$sostiene${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=h(\alpha )=h((1-\alpha )\cdot 0+\alpha \cdot 1)<(1-\alpha )h(0)+\alpha h(1)=1+\alpha x}$y la desigualdad inversa es válida para${\displaystyle \alpha <0}$y${\displaystyle \alpha >1}$.

Otra forma de utilizar la convexidad es reformular la desigualdad deseada en${\displaystyle \log(1+x)\geq {\frac {1}{r}}\log(1+rx)}$verdadero${\displaystyle r\geq 1}$y real ${\displaystyle x>-1/r}$Esta desigualdad se puede demostrar utilizando el hecho de que${\displaystyle \log }$La función es cóncava y luego se utiliza la desigualdad de Jensen en la forma${\displaystyle \log(p\,a+(1-p)b)\geq p\log(a)+(1-p)\log(b)}$dar:${\displaystyle \log(1+x)=\log({\frac {1}{r}}(1+rx)+{\frac {r-1}{r}})\geq {\frac {1}{r}}\log(1+rx)+{\frac {r-1}{r}}\log 1={\frac {1}{r}}\log(1+rx)}$que es la desigualdad deseada.