Álgebra genética

En genética matemática, un álgebra genética es un álgebra (posiblemente no asociativa ) que se utiliza para modelar la herencia en genética. Algunas variantes de estas álgebras se denominan álgebras de tren , álgebras de tren especiales , álgebras gaméticas , álgebras de Bernstein , álgebras copulares , álgebras cigóticas y álgebras báricas (también llamadas álgebras ponderadas ). El estudio de estas álgebras fue iniciado por Ivor Etherington ( 1939 ) . 

En aplicaciones a la genética, estas álgebras suelen tener una base que corresponde a los gametos genéticamente diferentes , y las constantes estructurales del álgebra codifican las probabilidades de producir descendencia de distintos tipos. Las leyes de la herencia se codifican entonces como propiedades algebraicas del álgebra.

Para estudios sobre álgebras genéticas, véanse Bertrand (1966) , Wörz-Busekros (1980) y Reed (1997) .

Las álgebras báricas (o álgebras ponderadas) fueron introducidas por Etherington (1939) ^. Un álgebra bárica sobre un cuerpo K es un álgebra posiblemente no asociativa sobre K junto con un homomorfismo w , llamado peso, del álgebra a K. ^{[ 1} ]    

Un álgebra de Bernstein, basada en el trabajo de Sergei Natanovich Bernstein ( 1923 ) sobre la ley de Hardy-Weinberg en genética, es un álgebra bárica (posiblemente no asociativa) B sobre un cuerpo K con un homomorfismo de peso w de B a K que satisface ${\displaystyle (x^{2})^{2}=w(x)^{2}x^{2}}$. Toda álgebra de este tipo tiene idempotentes e de la forma${\displaystyle e=a^{2}}$con${\displaystyle w(a)=1}$. La descomposición de Peirce de B correspondiente a e es

${\displaystyle B=Ke\oplus U_{e}\oplus Z_{e}}$

dónde${\displaystyle U_{e}=\{a\in \ker w:ea=a/2\}}$ y${\displaystyle Z_{e}=\{a\in \ker w:ea=0\}}$. Aunque estos subespacios dependen de e , sus dimensiones son invariantes y constituyen el tipo de B. Un álgebra de Bernstein excepcional es aquella con${\displaystyle U_{e}^{2}=0}$. ^{[ 2 ]}

Las álgebras copulares fueron introducidas por Etherington (1939 , sección 8).

Un álgebra de evolución sobre un cuerpo es un álgebra con una base en la que la multiplicación se define por el producto de términos distintos de la base igual a cero y el cuadrado de cada elemento de la base igual a una forma lineal en los elementos de la base. Un álgebra de evolución real es aquella definida sobre los números reales: es no negativa si las constantes de estructura en la forma lineal son todas no negativas. ^{[ 3 ]} Un álgebra de evolución es necesariamente conmutativa y flexible , pero no necesariamente asociativa ni potencia-asociativa . ^{[ 4 ]}

Un álgebra gamética es un álgebra real de dimensión finita para la cual todas las constantes de estructura se encuentran entre 0 y 1. ^{[ 5 ]}

Las álgebras genéticas fueron introducidas por Schafer (1949), quien demostró que las álgebras de trenes especiales son álgebras genéticas y que las álgebras genéticas son álgebras de trenes.

Las álgebras de trenes especiales fueron introducidas por Etherington (1939 , sección 4) como casos especiales de álgebras báricas.

Un álgebra de trenes especial es un álgebra bárica en la que el núcleo N de la función de peso es nilpotente y las potencias principales de N son ideales. ^{[ 1 ]}

Etherington (1941) demostró que las álgebras de trenes especiales son álgebras de trenes.

Las álgebras de trenes fueron introducidas por Etherington (1939 , sección 4) como casos especiales de álgebras báricas.

Dejar${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ser elementos del campo K con${\displaystyle 1+c_{1}+\cdots +c_{n}=0}$. El polinomio formal

${\displaystyle x^{n}+c_{1}w(x)x^{n-1}+\cdots +c_{n}w(x)^{n}}$

es un polinomio de tren . El álgebra bárica B con peso w es un álgebra de tren si

${\displaystyle a^{n}+c_{1}w(a)a^{n-1}+\cdots +c_{n}w(a)^{n}=0}$

para todos los elementos${\displaystyle a\in B}$, con${\displaystyle a^{k}}$definidos como poderes principales,${\displaystyle (a^{k-1})a}$. ^{[ 1 ] [ 6 ]}

Las álgebras cigóticas fueron introducidas por Etherington (1939 , sección 7).

• Bernstein, SN (1923), "Principe de stationarité et généralisation de la loi de Mendel", CR Acad. Ciencia. París , 177 : 581– 584.
• Bertrand, Monique (1966), Algèbres non associatives et algèbres génétiques , Mémorial des Sciences Mathématiques, Fasc. 162, Gauthier-Villars Éditeur, París, MR 0215885 
• Etherington, IMH (1939), "Álgebras genéticas" (PDF) , Proc. R. Soc. Edinburgh , 59 : 242–258 , doi : 10.1017/S0370164600012323 , MR 0000597 , Zbl 0027.29402 , archivado del original (PDF) el 6 de julio de 2011  
• Etherington, IMH (1941), "Álgebras especiales de trenes", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda Serie, 12 : 1–8 , doi : 10.1093/qmath/os-12.1.1 , ISSN 0033-5606 , JFM 67.0093.04 , MR 0005111 , Zbl 0027.29401    
• Lyubich, Yu.I. (2001) [1994], "El problema de Bernstein en genética matemática" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Micali, A. (2001) [1994], "Álgebra bárica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Micali, A. (2001) [1994], "Álgebra de Bernstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Reed, Mary Lynn (1997), "Estructura algebraica de la herencia genética", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 34 (2): 107– 130, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00712-X , ISSN 0002-9904 , MR 1414973 , Zbl 0876.17040   
• Schafer, Richard D. (1949), "Estructura de las álgebras genéticas", American Journal of Mathematics , 71 (1): 121– 135, doi : 10.2307/2372100 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372100 , MR 0027751   
• Tian, ​​Jianjun Paul (2008), Evolution algebras and their applications , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1921, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-74283-8, Zbl 1136.17001 
• Wörz-Busekros, Angelika (1980), Álgebras en genética , Lecture Notes in Biomathematics, vol.  36, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-09978-1, MR 0599179 
• Wörz-Busekros, A. (2001) [1994], "Álgebra genética" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Lyubich, Yu.I. (1983), Estructuras matemáticas en genética de poblaciones. (Matematicheskie struktury v populyatsionnoj genetike) (en ruso), Kiev: Naukova Dumka, Zbl 0593.92011