Teorema de Bertrand

En mecánica clásica , el teorema de Bertrand establece que, entre los potenciales de fuerza central con órbitas ligadas, solo existen dos tipos de potenciales escalares de fuerza central (radiales) con la propiedad de que todas las órbitas ligadas son también órbitas cerradas . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El teorema recibe su nombre de su descubridor, Joseph Bertrand , quien lo publicó en 1873. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El primero de estos potenciales es una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, como el potencial gravitatorio o electrostático :$${\displaystyle V(r)=-{\frac {k}{r}}}$$con fuerza$${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-\nabla V=-{\frac {k}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

El segundo es el potencial del oscilador armónico radial :$${\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}}$$con fuerza$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\nabla V=-kr\,{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

Todas las fuerzas centrales atractivas pueden producir órbitas circulares , que son órbitas cerradas por naturaleza . El único requisito es que la fuerza central sea exactamente igual a la fuerza centrípeta , que determina la velocidad angular necesaria para un radio circular dado. Aquí se ignoran las fuerzas no centrales (es decir, aquellas que dependen tanto de las variables angulares como del radio), ya que generalmente no producen órbitas circulares.

La ecuación de movimiento para el radio${\displaystyle r}$de una partícula de masa${\displaystyle m}$moviéndose en un potencial central${\displaystyle V(r)}$está dado por ecuaciones de movimiento

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}},}$$

dónde${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$y el momento angular${\displaystyle L=señor^{2}\omega }$se conserva. A modo de ejemplo, el primer término de la izquierda es cero para órbitas circulares, y la fuerza aplicada hacia adentro es cero.${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$iguala el requerimiento de fuerza centrípeta${\displaystyle mr^{2}\omega }$, como era de esperar.

La definición de momento angular permite un cambio de variable independiente desde${\displaystyle t}$a${\displaystyle \theta }$:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }},}$$

dando como resultado la nueva ecuación de movimiento que es independiente del tiempo:

$${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}.}$$

Esta ecuación se vuelve cuasilineal al realizar el cambio de variables.${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$y multiplicando ambos lados por${\displaystyle {\frac {señor^{2}}{L^{2}}}}$(véase también la ecuación de Binet ):

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V{\left({\frac {1}{u}}\right)}.}$$

Como se indicó anteriormente, todas las fuerzas centrales pueden producir órbitas circulares dada una velocidad inicial adecuada. Sin embargo, si se introduce alguna velocidad radial , estas órbitas no necesariamente son estables (es decir, no permanecen en órbita indefinidamente) ni cerradas (no regresan repetidamente a la misma trayectoria). Aquí mostramos que una condición necesaria para órbitas no circulares estables y exactamente cerradas es una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia o un potencial de oscilador armónico radial. En las siguientes secciones, mostramos que estas dos leyes de fuerza producen órbitas estables y exactamente cerradas .

Definir${\displaystyle J(u)}$como

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)\equiv -{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V{\left({\frac {1}{u}}\right)}=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}f{\left({\frac {1}{u}}\right)},}$$

dónde${\displaystyle f}$representa la fuerza radial. El criterio para un movimiento perfectamente circular a un radio${\displaystyle r_{0}}$es que el primer término de la izquierda sea cero:

dónde${\displaystyle u_{0}\equiv 1/r_{0}}$.

El siguiente paso es considerar la ecuación para${\displaystyle u}$bajo pequeñas perturbaciones${\displaystyle \eta \equiv u-u_{0}}$de órbitas perfectamente circulares. A la derecha, el${\displaystyle J}$La función se puede expandir en una serie de Taylor estándar :

$${\displaystyle J(u)\approx J(u_{0})+\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots }$$

Sustituyendo esta expansión en la ecuación para${\displaystyle u}$y restando los términos constantes se obtiene

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$$

que se puede escribir como

dónde${\displaystyle \beta ^{2}\equiv 1-J'(u_{0})}$es una constante.${\displaystyle \beta ^{2}}$debe ser no negativo; de lo contrario, el radio de la órbita variaría exponencialmente alejándose de su radio inicial. (La solución${\displaystyle \beta =0}$corresponde a una órbita perfectamente circular.) Si se puede despreciar el lado derecho (es decir, para pequeñas perturbaciones), las soluciones son

$${\displaystyle \eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta ),}$$

donde la amplitud${\displaystyle h_{1}}$es una constante de integración . Para que las órbitas estén cerradas,${\displaystyle \beta }$debe ser un número racional . Es más, debe ser el mismo número racional para todos los radios, ya que${\displaystyle \beta }$no pueden cambiar continuamente; los números racionales están totalmente desconectados entre sí. Usando la definición de${\displaystyle J}$junto con la ecuación 1 ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}J'(u_{0})&={\frac {2}{u_{0}}}\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}\right]-\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}\right]{\frac {1}{f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}}{\frac {d}{du_{0}}}f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}\\[1ex]&=-2+{\frac {u_{0}}{f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}}{\frac {d}{du_{0}}}f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}=1-\beta ^{2}.\end{aligned}}}$$

Dado que esto debe cumplirse para cualquier valor de${\displaystyle u_{0}}$,

$${\displaystyle {\frac {df}{dr}}=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r}},}$$

lo que implica que la fuerza debe seguir una ley de potencias.

$${\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}.}$$

Por eso,${\displaystyle J}$debe tener la forma general

Para desviaciones más generales de la circularidad (es decir, cuando no podemos descuidar los términos de orden superior en la expansión de Taylor de${\displaystyle J}$),${\displaystyle \eta }$puede expandirse en una serie de Fourier , por ejemplo,

$${\displaystyle \eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos \beta \theta +h_{2}\cos 2\beta \theta +h_{3}\cos 3\beta \theta +\cdots }$$

Sustituimos esto en la ecuación 2 e igualamos los coeficientes que pertenecen a la misma frecuencia, conservando solo los términos de orden más bajo. Como mostramos a continuación,${\displaystyle h_{0}}$y${\displaystyle h_{2}}$son más pequeños que${\displaystyle h_{1}}$, estando en orden${\displaystyle h_{1}^{2}}$.${\displaystyle h_{3}}$y todos los demás coeficientes son al menos de orden${\displaystyle h_{1}^{3}}$Esto tiene sentido, ya que${\displaystyle h_{0},h_{2},h_{3},\ldots }$todos deben desaparecer más rápido que${\displaystyle h_{1}}$a medida que se aproxima a una órbita circular.

$${\displaystyle {\begin{aligned}h_{0}&=h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{4\beta ^{2}}},\\h_{2}&=-h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{12\beta ^{2}}},\\h_{3}&=-{\frac {1}{8\beta ^{2}}}\left[h_{1}h_{2}{\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{24}}\right].\end{aligned}}}$$

Desde${\displaystyle \cos \beta \theta }$término, obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}\right){\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{8}}\\&={\frac {h_{1}^{3}}{24\beta ^{2}}}\left(3\beta ^{2}J'''(u_{0})+5J''(u_{0})^{2}\right),\end{aligned}}}$$

donde en el último paso sustituimos los valores de${\displaystyle h_{0}}$y${\displaystyle h_{2}}$.

Utilizando las ecuaciones ( 3 ) y ( 1 ), podemos calcular las segundas y terceras derivadas de${\displaystyle J}$evaluado en${\displaystyle u_{0}}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J''(u_{0})&=-{\frac {\beta ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)}{u_{0}}},\\J'''(u_{0})&={\frac {\beta ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)\left(1+\beta ^{2}\right)}{u_{0}^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Sustituyendo estos valores en la última ecuación se obtiene el resultado principal del teorema de Bertrand :

$${\displaystyle \beta ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)\left(4-\beta ^{2}\right)=0.}$$

Por lo tanto, los únicos potenciales que pueden producir órbitas cerradas no circulares estables son la ley de fuerza del inverso del cuadrado (${\displaystyle \beta =1}$) y el potencial del oscilador armónico radial (${\displaystyle \beta =2}$). La solución${\displaystyle \beta =0}$corresponde a órbitas perfectamente circulares, como se indicó anteriormente.

Para una ley de fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, como el potencial gravitatorio o electrostático , el potencial se puede escribir como:

$${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku.}$$

La órbita u ( θ ) se puede derivar de la ecuación general.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V{\left({\frac {1}{u}}\right)}={\frac {km}{L^{2}}},}$$

cuya solución es la constante${\displaystyle {\frac {km}{L^{2}}}}$más una sinusoide simple:

$${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}[1+e\cos(\theta -\theta _{0})],}$$

donde e (la excentricidad ) y θ ₀ (el desfase ) son constantes de integración.

Esta es la fórmula general para una sección cónica que tiene un foco en el origen; e = 0 corresponde a un círculo , 0 < e < 1 corresponde a una elipse, e = 1 corresponde a una parábola y e > 1 corresponde a una hipérbola . La excentricidad e está relacionada con la energía total E (véase el vector de Laplace-Runge-Lenz ):

$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}.}$$

Al comparar estas fórmulas se observa que E < 0 corresponde a una elipse, E = 0 corresponde a una parábola y E > 0 corresponde a una hipérbola . En particular,${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$para órbitas perfectamente circulares .

Para calcular la órbita bajo un potencial de oscilador armónico radial , es más fácil trabajar con componentes r = ( x , y , z ). El potencial se puede escribir como

$${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2}).}$$

La ecuación de movimiento para una partícula de masa m viene dada por tres ecuaciones de Euler independientes :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x&=0,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y&=0,\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z&=0,\end{aligned}}}$$

donde la constante${\displaystyle \omega _{0}^{2}\equiv {\frac {k}{m}}}$debe ser positivo (es decir, k > 0) para asegurar órbitas cerradas y acotadas; de lo contrario, la partícula saldrá disparada hacia el infinito . Las soluciones de estas ecuaciones simples del oscilador armónico son todas similares:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=A_{x}\cos(\omega _{0}t+\phi _{x}),\\y&=A_{y}\cos(\omega _{0}t+\phi _{y}),\\z&=A_{z}\cos(\omega _{0}t+\phi _{z}),\end{aligned}}}$$

donde las constantes positivas A _x , A _y y A _z representan las amplitudes de las oscilaciones, y los ángulos φ _x , φ _y y φ _z representan sus fases . La órbita resultante r ( t ) = [ x ( t ), y ( y ), z ( t )] es cerrada porque se repite exactamente después de un período.

$${\displaystyle T\equiv {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}.}$$

El sistema también es estable porque pequeñas perturbaciones en las amplitudes y fases provocan cambios correspondientemente pequeños en la órbita general.

• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2.ª  ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Santos, FC; Soares, V.; Tort, AC (2011). "Una traducción al inglés del teorema de Bertrand". Revista Latinoamericana de Educación Física . 5 (4): 694– 696. arXiv : 0704.2396 . Bibcode : 2007arXiv0704.2396S .
• Leenheer, Patrick De; Musgrove, John; Schimleck, Tyler (2023). "Una demostración exhaustiva del teorema de Bertrand" . SIAM Review . 65 (2): 563– 588. doi : 10.1137/21M1436658 . ISSN 0036-1445 . S2CID 258585586 .