proceso de Bessel

En matemáticas , un proceso de Bessel , llamado así en honor a Friedrich Bessel . El proceso de Bessel n -dimensional es la solución de la ecuación diferencial estocástica (EDE).

${\displaystyle dX_{t}=dW_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}}$

donde W es un proceso de Wiener unidimensional ( movimiento browniano )

El proceso de Bessel de orden n es el proceso de valores reales X dado (cuando n  ≥  2) por

${\displaystyle X_{t}=\|W_{t}\|,}$

donde ||·|| denota la norma euclidiana en R ⁿ y W es un proceso de Wiener n- dimensional ( movimiento browniano ). Nótese que esta EDE tiene sentido para cualquier parámetro real.${\displaystyle n}$(aunque el término de deriva es singular en cero).

Una notación para el proceso de Bessel de dimensión n que comienza en cero es BES ₀ ( n ) .

Para n  ≥  2, el proceso de Wiener n -dimensional que comienza en el origen es transitorio desde su punto de partida: con probabilidad uno , es decir, X _t > 0 para todo t > 0. Sin embargo, es recurrente en la vecindad para n = 2, lo que significa que con probabilidad 1, para cualquier r > 0, hay t arbitrariamente grande con X _t < r ; por otro lado, es verdaderamente transitorio para n > 2, lo que significa que X _t ≥ r para todo t suficientemente grande.               

Para n  ≤  0, el proceso de Bessel generalmente se inicia en puntos distintos de 0, ya que la deriva hacia 0 es tan fuerte que el proceso se queda atascado en 0 tan pronto como llega a 0.

• Øksendal, Bernt (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
• Williams D. (1979) Difusiones, procesos de Markov y martingalas, volumen 1  : fundamentos. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.