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Articulo de referencia

Distribución beta-binomial

\\mathrm{BetaBin}(n,\\alpha,\\beta) "},"6":{"wt":"\n "},"parameters":{"wt":"''n'' ∈ [[Natural numbers|'''N''' 0 ]] — number of trials \\alpha > 0 ([[real number|real]]) \\beta >...

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En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución beta-binomial es una familia de distribuciones de probabilidad discretas con soporte finito de enteros no negativos que surge cuando la probabilidad de éxito en cada uno de un número fijo o conocido de ensayos de Bernoulli es desconocida o aleatoria. La distribución beta-binomial es la distribución binomial en la que la probabilidad de éxito en cada uno de n ensayos no es fija, sino que se extrae aleatoriamente de una distribución beta . Se utiliza frecuentemente en estadística bayesiana , métodos bayesianos empíricos y estadística clásica para capturar la sobredispersión en datos con distribución binomial .

La distribución beta-binomial es una versión unidimensional de la distribución multinomial de Dirichlet, ya que las distribuciones binomial y beta son versiones univariadas de las distribuciones multinomial y de Dirichlet , respectivamente. El caso especial en el que α y β son enteros también se conoce como distribución hipergeométrica negativa .

Motivación y derivación

Como distribución compuesta

La distribución beta es una distribución conjugada de la distribución binomial . Este hecho conduce a una distribución compuesta analíticamente tratable donde se puede pensar en lapag{\displaystyle p}parámetro en la distribución binomial como si se extrajera aleatoriamente de una distribución beta. Supongamos que estuviéramos interesados ​​en predecir la probabilidad de un número específico de caras,incógnita{\displaystyle x}ennorte{\displaystyle n}ensayos futuros. Esto es dado por

F(incógnita∣norte,α,β)=∫01Binorte(incógnita|norte,pag)Bmita(pag∣α,β)dpag=(norteincógnita)1B(α,β)∫01pagincógnita+α−1(1−pag)norte−incógnita+β−1dpag=(norteincógnita)B(incógnita+α,norte−incógnita+β)B(α,β).{\displaystyle {\begin{aligned}f(x\mid n,\alpha ,\beta )&=\int _{0}^{1}\mathrm {Bin} (x|n,p)\mathrm {Beta} (p\mid \alpha ,\beta )\,dp\\[6pt]&={n \choose x}{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}p^{x+\alpha -1}(1-p)^{n-x+\beta -1}\,dp\\[6pt]&={n \choose x}{\frac {\mathrm {B} (x+\alpha ,n-x+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}

Utilizando las propiedades de la función beta , esto también se puede escribir de otra manera.

F(incógnita∣norte,α,β)=Γ(norte+1)Γ(incógnita+α)Γ(norte−incógnita+β)Γ(norte+α+β)Γ(incógnita+1)Γ(norte−incógnita+1)Γ(α+β)Γ(α)Γ(β){\displaystyle f(x\mid n,\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (x+\alpha )\Gamma (n-x+\beta )}{\Gamma (n+\alpha +\beta )\Gamma (x+1)\Gamma (n-x+1)}}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}

Como modelo de urna

La distribución beta-binomial también puede explicarse mediante un modelo de urna para valores enteros positivos de α y β , conocido como el modelo de urna de Pólya . Específicamente, imaginemos una urna que contiene α bolas rojas y β bolas negras, donde se realizan extracciones aleatorias. Si se observa una bola roja, se devuelven dos bolas rojas a la urna. Del mismo modo, si se extrae una bola negra, se devuelven dos bolas negras a la urna. Si esto se repite n veces, la probabilidad de observar x bolas rojas sigue una distribución beta-binomial con parámetros n , α y β . 

Por el contrario, si las extracciones aleatorias se realizan con reemplazo simple (no se añaden a la urna bolas adicionales a la observada), la distribución sigue una distribución binomial, y si las extracciones aleatorias se realizan sin reemplazo, la distribución sigue una distribución hipergeométrica .

Momentos y propiedades

Los tres primeros momentos crudos son

μ1=norteαα+βμ2=norteα[norte(1+α)+β](α+β)(1+α+β)μ3=norteα[norte2(1+α)(2+α)+3norte(1+α)β+β(β−α)](α+β)(1+α+β)(2+α+β){\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\\[8pt]\mu _{2}&={\frac {n\alpha [n(1+\alpha )+\beta ]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )}}\\[8pt]\mu _{3}&={\frac {n\alpha [n^{2}(1+\alpha )(2+\alpha )+3n(1+\alpha )\beta +\beta (\beta -\alpha )]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )(2+\alpha +\beta )}}\end{aligned}}}

y la curtosis es

β2=(α+β)2(1+α+β)norteαβ(α+β+2)(α+β+3)(α+β+norte)[(α+β)(α+β−1+6norte)+3αβ(norte−2)+6norte2−3αβnorte(6−norte)α+β−18αβnorte2(α+β)2].{\displaystyle \beta _{2}={\frac {(\alpha +\beta )^{2}(1+\alpha +\beta )}{n\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +n)}}\left[(\alpha +\beta )(\alpha +\beta -1+6n)+3\alpha \beta (n-2)+6n^{2}-{\frac {3\alpha \beta n(6-n)}{\alpha +\beta }}-{\frac {18\alpha \beta n^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right].}

Alquilerpag=αα+β{\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}Observamos, de manera sugerente, que la media puede escribirse como

μ=norteαα+β=nortepag{\displaystyle \mu ={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}=np\!}

y la varianza como

σ2=norteαβ(α+β+norte)(α+β)2(α+β+1)=nortepag(1−pag)α+β+norteα+β+1=nortepag(1−pag)[1+(norte−1)ρ]{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}=np(1-p){\frac {\alpha +\beta +n}{\alpha +\beta +1}}=np(1-p)[1+(n-1)\rho ]\!}

dóndeρ=1α+β+1{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\alpha +\beta +1}}\!}. El parámetroρ{\displaystyle \rho \;\!} se conoce como correlación "intraclase" o "intraclúster". Es esta correlación positiva la que da lugar a la sobredispersión. Tenga en cuenta que cuandonorte=1{\displaystyle n=1}No se dispone de información para distinguir entre la variación beta y la binomial, y los dos modelos tienen varianzas iguales.

momentos factoriales

El r -ésimo momento factorial de una variable aleatoria beta-binomial X es

mi⁡[(incógnita)r]=norte¡(norte−r)¡B(α+r,β)B(α,β)=(norte)rB(α+r,β)B(α,β){\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {n!}{(nr)!}}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}=(n)_{r}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}}.

Estimaciones puntuales

Método de los momentos

Las estimaciones del método de los momentos se pueden obtener observando el primer y el segundo momento de la distribución beta-binomial y estableciéndolos iguales a los momentos de la muestra.metro1{\displaystyle m_{1}}ymetro2{\displaystyle m_{2}}. Encontramos

α^=nortemetro1−metro2norte(metro2metro1−metro1−1)+metro1β^=(norte−metro1)(norte−metro2metro1)norte(metro2metro1−metro1−1)+metro1.{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\alpha }}&={\frac {nm_{1}-m_{2}}{n({\frac {m_{2}}{m_{1}}}-m_{1}-1)+m_{1}}}\\[5pt]{\widehat {\beta }}&={\frac {(n-m_{1})(n-{\frac {m_{2}}{m_{1}}})}{n({\frac {m_{2}}{m_{1}}}-m_{1}-1)+m_{1}}}.\end{aligned}}}

Estas estimaciones pueden ser negativas sin sentido, lo que evidencia que los datos no presentan dispersión o tienen una dispersión insuficiente con respecto a la distribución binomial. En este caso, la distribución binomial y la distribución hipergeométrica son candidatas alternativas.

estimación de máxima verosimilitud

Si bien las estimaciones de máxima verosimilitud en forma cerrada resultan poco prácticas, dado que la función de densidad de probabilidad (FDP) se compone de funciones comunes ( función gamma y/o función beta), pueden obtenerse fácilmente mediante optimización numérica directa. Las estimaciones de máxima verosimilitud a partir de datos empíricos pueden calcularse utilizando métodos generales para ajustar distribuciones de Pólya multinomiales, los cuales se describen en (Minka 2003). El paquete VGAM de R , a través de la función vglm, facilita el ajuste de modelos tipo glm con respuestas distribuidas según la distribución beta-binomial. No es necesario que n sea fijo en todas las observaciones.

Ejemplo: Heterogeneidad en la proporción de sexos

Los siguientes datos muestran el número de hijos varones entre los primeros 12 hijos de familias de 13 miembros en 6115 familias, según los registros hospitalarios de la Sajonia del siglo XIX (Sokal y Rohlf, pág.  59, citado por Lindsey). Se omite el decimotercer hijo para atenuar el efecto de que las familias dejen de tener hijos de forma no aleatoria al alcanzar el sexo deseado.

Los dos primeros momentos de muestra son

metro1=6.23metro2=42.31norte=12{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=6.23\\m_{2}&=42.31\\n&=12\end{aligned}}}

y por lo tanto las estimaciones del método de los momentos son

α^=34.1350β^=31.6085.{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\alpha }}&=34.1350\\{\widehat {\beta }}&=31.6085.\end{aligned}}}

Las estimaciones de máxima verosimilitud se pueden encontrar numéricamente.

α^metrolmi=34.09558β^metrolmi=31.5715{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\alpha }}_{\mathrm {mle} }&=34.09558\\{\widehat {\beta }}_{\mathrm {mle} }&=31.5715\end{aligned}}}

y la log-verosimilitud maximizada es

registro⁡L=−12492.9{\displaystyle \log {\mathcal {L}}=-12492.9}

a partir de lo cual obtenemos el AIC

AIdo=24989.74.{\displaystyle {\mathit {AIC}}=24989.74.}

El AIC para el modelo binomial alternativo es AIC  =  25070,34, por lo que vemos que el modelo beta-binomial proporciona un ajuste superior a los datos; es decir, hay evidencia de sobredispersión. Trivers y Willard postulan una justificación teórica para la heterogeneidad en la predisposición al sexo entre la descendencia de mamíferos .

El ajuste superior es evidente especialmente en las colas.

Papel en la estadística bayesiana

La distribución beta-binomial juega un papel destacado en la estimación bayesiana de una probabilidad de éxito de Bernoulli.pag{\displaystyle p}que deseamos estimar basándonos en datos.incógnita={incógnita1,incógnita2,⋯incógnitanorte1}{\displaystyle \mathbf {X} =\{X_{1},X_{2},\cdots X_{n_{1}}\}}Sea una muestra de variables aleatorias de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas.incógnitai∼Bernoulli(pag){\displaystyle X_{i}\sim {\text{Bernoulli}}(p)}. Supongamos que nuestro conocimiento depag{\displaystyle p}- de forma bayesiana - es incierto y se modela mediante la distribución previapag∼Beta(α,β){\displaystyle p\sim {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}. SiY1=∑i=1norte1incógnitai{\displaystyle Y_{1}=\sum _{i=1}^{n_{1}}X_{i}}luego mediante la composición , la distribución predictiva previa de

Y1∼BetaBin(norte1,α,β){\displaystyle Y_{1}\sim {\text{BetaBin}}(n_{1},\alpha ,\beta )}.

Después de observarY1{\displaystyle Y_{1}}observamos que la distribución posterior parapag{\displaystyle p}

F(pag|incógnita,α,β)∝(∏i=1norte1pagincógnitai(1−pag)1−incógnitai)pagα−1(1−pag)β−1=dopag∑incógnitai+α−1(1−pag)norte1−∑incógnitai+β−1=dopagy1+α−1(1−pag)norte1−y1+β−1{\displaystyle {\begin{aligned}f(p|\mathbf {X} ,\alpha ,\beta )&\propto \left(\prod _{i=1}^{n_{1}}p^{x_{i}}(1-p)^{1-x_{i}}\right)p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}\\&=Cp^{\sum x_{i}+\alpha -1}(1-p)^{n_{1}-\sum x_{i}+\beta -1}\\&=Cp^{y_{1}+\alpha -1}(1-p)^{n_{1}-y_{1}+\beta -1}\end{aligned}}}

dóndedo{\displaystyle C}es una constante de normalización . Reconocemos la distribución posterior depag{\displaystyle p}como unBmita(y1+α,norte1−y1+β){\displaystyle \mathrm {Beta} (y_{1}+\alpha ,n_{1}-y_{1}+\beta )}.

Así, nuevamente mediante la composición, encontramos que la distribución predictiva posterior de una sumaY2{\displaystyle Y_{2}}de una muestra futura de tamañonorte2{\displaystyle n_{2}}deBmirnorteotúlli(pag){\displaystyle \mathrm {Bernoulli} (p)}Las variables aleatorias son

Y2∼BmitaBinorte(norte2,y1+α,norte1−y1+β){\displaystyle Y_{2}\sim \mathrm {BetaBin} (n_{2},y_{1}+\alpha ,n_{1}-y_{1}+\beta )}.

Generación de variables aleatorias

Para extraer una variable aleatoria beta-binomialincógnita∼BmitaBinorte(norte,α,β){\displaystyle X\sim \mathrm {BetaBin} (n,\alpha ,\beta )}simplemente dibujapag∼Bmita(α,β){\displaystyle p\sim \mathrm {Beta} (\alpha ,\beta )}y luego dibujaincógnita∼B(norte,pag){\displaystyle X\sim \mathrm {B} (n,p)}.

  • BmitaBinorte(1,α,β)∼Bmirnorteotúlli(pag){\displaystyle \mathrm {BetaBin} (1,\alpha ,\beta )\sim \mathrm {Bernoulli} (p)\,}dóndepag=αα+β{\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,}.
  • BmitaBinorte(norte,1,1)∼U(0,norte){\displaystyle \mathrm {BetaBin} (n,1,1)\sim U(0,n)\,}dóndeU(a,b){\displaystyle U(a,b)\,}es la distribución uniforme discreta .
  • Siincógnita∼BmitaBinorte(norte,α,β){\displaystyle X\sim \mathrm {BetaBin} (n,\alpha ,\beta )\,}entonces(norte−incógnita)∼BmitaBinorte(norte,β,α){\displaystyle (n-X)\sim \mathrm {BetaBin} (n,\beta ,\alpha )\,}
  • límites→∞BmitaBinorte(norte,pags,(1−pag)s)∼B(norte,pag){\displaystyle \lim _{s\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,ps,(1-p)s)\sim \mathrm {B} (n,p)\,}dóndepag=αα+β{\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,}ys=α+β{\displaystyle s=\alpha +\beta \,}yB(norte,pag){\displaystyle \mathrm {B} (n,p)\,}es la distribución binomial .
  • límitenorte→∞BmitaBinorte(norte,norteλ,norte2)∼PAGois(λ){\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,n\lambda ,n^{2})\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}dóndePAGois(λ){\displaystyle \mathrm {Pois} (\lambda )\,}es la distribución de Poisson .
  • límitenorte→∞BmitaBinorte(norte,1,nortepag(1−pag))∼GRAMOmiometro(pag){\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,1,{\frac {np}{(1-p)}})\sim \mathrm {Geom} (p)\,}dóndeGRAMOmiometro(pag){\displaystyle \mathrm {Geom} (p)\,}es la distribución geométrica .
  • límitenorte→∞BmitaBinorte(norte,r,nortepag(1−pag))∼norteB(r,pag){\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,r,{\frac {np}{(1-p)}})\sim \mathrm {NB} (r,p)\,}dóndenorteB(r,pag){\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)\,}es la distribución binomial negativa .

Véase también

Referencias

  • Minka, Thomas P. (2003). Estimación de una distribución de Dirichlet . Informe técnico de Microsoft.
  • Utilización de la distribución beta-binomial para evaluar el rendimiento de un dispositivo de identificación biométrica.
  • Fastfit contiene código Matlab para ajustar distribuciones beta-binomiales (en forma de distribuciones de Pólya bidimensionales) a los datos.
  • Gráfico interactivo: Relaciones de distribución univariada
  • Funciones beta-binomiales en el paquete VGAM de R.
  • Distribución beta-binomial en la biblioteca Java Cognitive Foundry de los Laboratorios Nacionales Sandia. Archivado el 21 de marzo de 2021 en Wayback Machine.