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Función beta (física)

En física teórica , específicamente en teoría cuántica de campos , una función beta o función de Gell-Mann-Low , β(g) , codifica la dependencia de un parámetro de acoplamiento ,...

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En física teórica , específicamente en teoría cuántica de campos , una función beta o función de Gell-Mann-Low , β(g) , codifica la dependencia de un parámetro de acoplamiento , g , en la escala de energía , μ , de un proceso físico dado descrito por la teoría cuántica de campos . Se define mediante la ecuación de Gell-Mann-Low [ 1 ] o ecuación del grupo de renormalización, dada por

β(gramo)=μ∂gramo∂μ=∂gramo∂ln⁡(μ) ,{\displaystyle \beta (g)=\mu {\frac {\partial g}{\partial \mu }}={\frac {\partial g}{\partial \ln(\mu )}}~,}

y, debido al grupo de renormalización subyacente , no tiene una dependencia explícita de μ , por lo que solo depende de μ implícitamente a través de g . Esta dependencia de la escala de energía así especificada se conoce como la variación del parámetro de acoplamiento, una característica fundamental de la dependencia de escala en la teoría cuántica de campos, y su cálculo explícito se puede lograr mediante diversas técnicas matemáticas. El concepto de función beta fue introducido por primera vez por Ernst Stueckelberg y André Petermann en 1953, [ 2 ] y postulado independientemente por Murray Gell-Mann y Francis E. Low en 1954. [ 3 ]

Historia

Murray Gell-Mann y Francis E. Low restringieron la idea a las transformaciones de escala en QED en 1954 y se centraron en las formas asintóticas del propagador del fotón a altas energías. [ 4 ] Determinaron la variación del acoplamiento electromagnético en QED considerando la estructura de escala y descubrieron que el parámetro de acoplamiento g ( μ ) en la escala de energía μ viene dado efectivamente por la ecuación de grupo gramo(μ)=GRAMO−1((μMETRO)dGRAMO(gramo(METRO))){\displaystyle g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}para una función de escala de Wegner arbitraria G y una constante d , en términos del acoplamiento g(M) en una escala de referencia M.

Gell-Mann y Low se dieron cuenta de que la escala efectiva puede tomarse arbitrariamente como μ , y puede variar para definir la teoría en cualquier otra escala: gramo(κ)=GRAMO−1((κμ)dGRAMO(gramo(μ)))=GRAMO−1((κMETRO)dGRAMO(gramo(METRO))){\displaystyle g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}El núcleo del RG es esta propiedad de grupo: a medida que la escala μ varía, la teoría se presenta de forma autosimilar, y se puede acceder a cualquier escala desde cualquier otra escala mediante esta acción de grupo. Formalmente, esta transformación se describe matemáticamente mediante la ecuación de Schröder . [ 5 ]

Sobre la base de esta ecuación de grupo finito y su propiedad de escala, Gell-Mann y Low se centraron en transformaciones infinitesimales e inventaron un método computacional basado en la función ψ ( g ) = G d /(∂ G /∂ g ) que introdujeron. Al igual que la función anterior h ( e ), su función determina el cambio del acoplamiento g ( μ ) con respecto al cambio en la escala de energía μ a través de una ecuación diferencial, la ecuación del grupo de renormalización. ∂gramo∂ln⁡μ=ψ(gramo)=β(gramo){\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)}o la función beta. [ 6 ] [ 7 ] Dado que es una función de g , la integración en g de una estimación perturbativa de la misma permite especificar la variación de la función con la energía, efectivamente la función G en esta aproximación. La predicción del grupo de renormalización se confirmó 40 años después en los experimentos del Gran Colisionador de Electrones y Positrones : la "constante" de estructura fina de la QED se midió [ 8 ] en aproximadamente 1 ⁄ 127 a energías cercanas a 200 GeV, en contraposición al valor estándar de la física de baja energía de 1 ⁄ 137 . [ a ]

invariancia de escala

Si las funciones beta de una teoría cuántica de campos (TCC) se anulan, generalmente para ciertos valores de los parámetros de acoplamiento, se dice que la teoría es invariante de escala . Casi todas las TCC invariantes de escala son también invariantes conformes . El estudio de dichas teorías se denomina teoría de campos conformes .

Los parámetros de acoplamiento de una teoría cuántica de campos pueden variar incluso si la teoría clásica de campos correspondiente es invariante de escala. En este caso, la función beta no nula nos indica que la invariancia de escala clásica es anómala .

Ejemplos

Las funciones beta se suelen calcular mediante algún tipo de esquema de aproximación. Un ejemplo es la teoría de perturbaciones , donde se supone que los parámetros de acoplamiento son pequeños. En ese caso, se puede realizar un desarrollo en potencias de los parámetros de acoplamiento y truncar los términos de orden superior (también conocidos como contribuciones de bucles superiores , debido al número de bucles en los gráficos de Feynman correspondientes ).

Aquí se muestran algunos ejemplos de funciones beta calculadas en la teoría de perturbaciones:

electrodinámica cuántica

La función beta de un bucle en electrodinámica cuántica (QED) es

  • β(mi)=mi312π2 ,{\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,}

o, equivalentemente,

  • β(α)=2α23π ,{\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}~,}

escrito en términos de la constante de estructura fina en unidades naturales, α = e 2 /4π . [ 10 ]

Esta función beta nos indica que el acoplamiento aumenta con la escala de energía, y la electrodinámica cuántica (QED) se vuelve fuertemente acoplada a altas energías. De hecho, el acoplamiento aparentemente se vuelve infinito a cierta energía finita, lo que da lugar a un polo de Landau . Sin embargo, no se puede esperar que la función beta perturbativa proporcione resultados precisos en el caso de un acoplamiento fuerte, por lo que es probable que el polo de Landau sea un artefacto de la aplicación de la teoría de perturbaciones en una situación donde ya no es válida.

Cromodinámica cuántica

La función beta de un bucle en cromodinámica cuántica connorteF{\displaystyle n_{f}}sabores ynortes{\displaystyle n_{s}}bosones coloreados escalares es

β(gramo)=−(11−nortes6−2norteF3)gramo316π2 ,{\displaystyle \beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}

o

β(αs)=−(11−nortes6−2norteF3)αs22π ,{\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,}

escrito en términos de α s =gramo2/4π{\displaystyle g^{2}/4\pi }.

Suponiendo que n s =0, si n f ≤ 16, la función beta resultante indica que el acoplamiento disminuye al aumentar la escala de energía, un fenómeno conocido como libertad asintótica . Por el contrario, el acoplamiento aumenta al disminuir la escala de energía. Esto significa que el acoplamiento se vuelve grande a bajas energías, y ya no se puede confiar en la teoría de perturbaciones.

Teoría de gauge no abeliana SU( N )

Mientras que el grupo de calibre (Yang-Mills) de QCD esSU(3){\displaystyle \mathrm {SU} (3)}y determina 3 colores, podemos generalizar a cualquier número de colores,nortedo{\displaystyle N_{c}}, con un grupo de indicadoresGRAMO=SU(nortedo){\displaystyle G=\mathrm {SU} (N_ {c})}. Entonces, para este grupo de gauge, con fermiones de Dirac en una representaciónRF{\displaystyle R_{f}}deGRAMO{\displaystyle G}y con escalares complejos en una representaciónRs{\displaystyle R_{s}}, la función beta de un bucle es

β(gramo)=−(113do2(GRAMO)−13nortesT(Rs)−43norteFT(RF))gramo316π2 ,{\displaystyle \beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}

dóndedo2(GRAMO){\displaystyle C_{2}(G)}es el Casimir cuadrático deGRAMO{\displaystyle G}yT(R){\displaystyle T(R)}es otro invariante de Casimir definido porTr(TRaTRb)=T(R)δab{\displaystyle Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}}para generadoresTRa,b{\displaystyle T_{R}^{a,b}}del álgebra de Lie en la representación R . (Para fermiones de Weyl o Majorana , reemplazar4/3{\displaystyle 4/3}por2/3{\displaystyle 2/3}y para escalares reales, reemplace1/3{\displaystyle 1/3}por1/6{\displaystyle 1/6}.) Para campos de gauge ( es decir, gluones), necesariamente en el adjunto deGRAMO{\displaystyle G},do2(GRAMO)=nortedo{\displaystyle C_{2}(G)=N_{c}}; para fermiones en la representación fundamental (o antifundamental) deGRAMO{\displaystyle G},T(R)=1/2{\displaystyle T(R)=1/2}. Luego para QCD, connortedo=3{\displaystyle N_{c}=3}La ecuación anterior se reduce a la que figura para la función beta de la cromodinámica cuántica.

Este famoso resultado fue derivado casi simultáneamente en 1973 por Hugh David Politzer , [ 11 ] David Gross y Frank Wilczek , [ 12 ] por lo que los tres recibieron el Premio Nobel de Física en 2004. Sin que estos autores lo supieran, Gerard 't Hooft había anunciado el resultado en un comentario tras una charla de Kurt Symanzik en una pequeña reunión en Marsella en junio de 1972, pero nunca lo publicó. [ 13 ]

Acoplamientos Higgs-Yukawa del Modelo Estándar

En el Modelo Estándar , los quarks y los leptones tienen acoplamientos de Yukawa con el bosón de Higgs . Estos determinan la masa de la partícula. Casi todos los acoplamientos de Yukawa de los quarks y leptones son pequeños en comparación con el acoplamiento de Yukawa del quark top . Estos acoplamientos de Yukawa cambian sus valores dependiendo de la escala de energía en la que se miden, mediante la ecuación de renormalización . La dinámica de los acoplamientos de Yukawa de los quarks está determinada por la ecuación del grupo de renormalización :

μ∂∂μy≈y16π2(92y2−8gramo32){\displaystyle \mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)},

dóndegramo3{\displaystyle g_{3}}es el acoplamiento del indicador de color (que es una función deμ{\displaystyle \mu }y asociada con la libertad asintótica ) yy{\displaystyle y}es el acoplamiento de Yukawa. Esta ecuación describe cómo cambia el acoplamiento de Yukawa con la escala de energía.μ{\displaystyle \mu }.

Los acoplamientos de Yukawa de los quarks up, down, charm, strange y bottom son pequeños en la escala de energía extremadamente alta de la gran unificación ,μ≈1015{\displaystyle \mu \approx 10^{15}}GeV. Por lo tanto, ely2{\displaystyle y^{2}}El término puede despreciarse en la ecuación anterior. Resolviendo, encontramos quey{\displaystyle y}aumenta ligeramente en las escalas de energía bajas en las que las masas de los quarks son generadas por el bosón de Higgs,μ≈100{\displaystyle \mu \approx 100}GeV.

Por otro lado, existen soluciones a esta ecuación para valores iniciales grandes.y{\displaystyle y}hace que el lado derecho se acerque rápidamente a valores más pequeños a medida que descendemos en la escala de energía. La ecuación anterior entonces bloqueay{\displaystyle y}al acoplamiento de QCDgramo3{\displaystyle g_{3}}Esto se conoce como el punto cuasi-fijo (infrarrojo) de la ecuación del grupo de renormalización para el acoplamiento de Yukawa. [ 14 ] [ 15 ] No importa cuál sea el valor inicial del acoplamiento, si es suficientemente grande alcanzará este valor de punto cuasi-fijo y se predice la masa del quark correspondiente.

Modelo estándar supersimétrico mínimo

Los estudios de grupos de renormalización en el Modelo Estándar Supersimétrico Mínimo (MSSM) de gran unificación y los puntos fijos de Higgs-Yukawa fueron muy alentadores, indicando que la teoría iba por buen camino. Sin embargo, hasta el momento no se ha encontrado evidencia experimental de las partículas predichas por el MSSM en el Gran Colisionador de Hadrones .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Las primeras aplicaciones a la electrodinámica cuántica se discuten en el libro de 1959 La teoría de los campos cuantizados de Nikolay Bogolyubov y Dmitry Shirkov . [ 9 ]
  1. ↑ Tsvelik, Alexei M. (18 de enero de 2007). Teoría cuántica de campos en la física de la materia condensada . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-52980-8.
  2. ↑ Stückelberg, ECG ; Petermann, A. (1953). "La renormalización de las constantes en la teoría de los cuantos" . Helv. Física. Acta (en francés). 26 : 499-520 .
  3. ↑ Fraser, James D. (1 de octubre de 2021). "Los orígenes gemelos de los conceptos del grupo de renormalización" . Estudios en Historia y Filosofía de la Ciencia, Parte A. 89 : 114–128 . Bibcode : 2021SHPSA..89..114F . doi : 10.1016 /j.shpsa.2021.08.002 . ISSN 0039-3681 . 
  4. ↑ Gell-Mann, M. ; Low, FE (1954). "Electrodinámica cuántica a pequeñas distancias" (PDF) . Physical Review . 95 (5): 1300– 1312. Bibcode : 1954PhRv...95.1300G . doi : 10.1103/PhysRev.95.1300 .
  5. ↑ Curtright, TL ; Zachos, CK (marzo de 2011). "Ecuaciones funcionales del grupo de renormalización". Physical Review D. 83 ( 6) 065019. arXiv : 1010.5174 . Bibcode : 2011PhRvD..83f5019C . doi : 10.1103/PhysRevD.83.065019 . S2CID 119302913 . 
  6. ↑ Callan, CG (1970). "Invariancia de escala rota en la teoría de campos escalares". Physical Review D . 2 (8): 1541– 1547. Bibcode : 1970PhRvD...2.1541C . doi : 10.1103/PhysRevD.2.1541 .
  7. ↑ Schwartz, Matthew D. (14 de diciembre de 2013). Teoría cuántica de campos y el modelo estándar (1.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 314. doi : 10.1017/9781139540940 . ISBN   978-1-108-98503-1.
  8. ↑ Fritzsch, Harald (2002). "Constantes fundamentales de alta energía". Fortschritte der Physik . 50 ( 5– 7): 518– 524. arXiv : hep-ph/0201198 . Código Bib : 2002ParaPh..50..518F . doi : 10.1002/1521-3978(200205)50:5/7 < 518::AID-PROP518 > 3.0.CO ; 2-F . S2CID 18481179 . 
  9. ↑ Bogoliubov, NN ; Shirkov, DV (1959). La teoría de los campos cuantizados . Nueva York, NY: Interscience.
  10. ↑ Srednicki, Mark Allen (2017). Teoría cuántica de campos (13.ª ed.). Cambridge: Cambridge Univ. Press. pág. 446. ISBN   978-0-521-86449-7.
  11. ↑ H. David Politzer (1973). "¿Resultados perturbativos fiables para interacciones fuertes?" . Phys. Rev. Lett . 30 (26): 1346– 1349. Bibcode : 1973PhRvL..30.1346P . doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1346 .
  12. ↑ DJ Gross y F. Wilczek (1973). "Teorías de gauge asintóticamente libres. 1" . Phys. Rev. D. 8 ( 10): 3633–3652 . Bibcode : 1973PhRvD...8.3633G . doi : 10.1103/PhysRevD.8.3633 ..
  13. ↑ G. 't Hooft (1999). "¿Cuándo se descubrió la libertad asintótica?". Nucl. Phys. B Proc. Suppl . 74 (1): 413– 425. arXiv : hep-th/9808154 . Bibcode : 1999NuPhS..74..413T . doi : 10.1016/S0920-5632(99)00207-8 . S2CID 17360560 . 
  14. ↑ Pendleton, B.; Ross, GG (1981). "Predicciones de masa y ángulo de mezcla a partir de puntos fijos infrarrojos". Phys. Lett . B98 (4): 291. Bibcode : 1981PhLB...98..291P . doi : 10.1016/0370-2693(81)90017-4 .
  15. ↑ Hill, CT (1981). "Masas de quarks y leptones a partir de puntos fijos del grupo de renormalización". Phys. Rev. D24 ( 3): 691. Bibcode : 1981PhRvD..24..691H . doi : 10.1103/PhysRevD.24.691 .

Lecturas adicionales

  • Peskin, M. y Schroeder, D.; Introducción a la teoría cuántica de campos, Westview Press (1995). Un texto introductorio estándar que abarca muchos temas de la teoría cuántica de campos, incluido el cálculo de funciones beta; véase especialmente el capítulo 16.
  • Weinberg, Steven; La teoría cuántica de campos, (3 volúmenes) Cambridge University Press (1995). Un tratado monumental sobre la teoría cuántica de campos.
  • Zinn-Justin, Jean; Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos, Oxford University Press (2002). Énfasis en el grupo de renormalización y temas relacionados.