Número de Beth

En matemáticas , particularmente en la teoría de conjuntos , los números de Beth forman una cierta secuencia (no de conjunto) de números cardinales infinitos (también conocidos como números transfinitos ), escritos convencionalmente${\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }$, dónde${\displaystyle \beth }$es la letra hebrea bet . Los números bet están relacionados con los números aleph (${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots }$), pero a menos que la hipótesis del continuo generalizado sea cierta, hay números indexados por${\displaystyle \aleph }$que no están indexados por${\displaystyle \beth }$Por otro lado, los números de Beth son cofinales (todo número cardinal es menor que un número de Beth) en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel simple.

Los números de Beth se indexan mediante números ordinales y se definen en términos de la jerarquía acumulativa por${\displaystyle \beth _{\alpha }=|V_{\omega +\alpha }|}$, dónde${\displaystyle |A|}$es la cardinalidad de${\displaystyle A}$y${\displaystyle \omega }$es el primer número ordinal infinito. En particular,${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$, y se deduce por el teorema de Cantor y la inducción transfinita que la sucesión de números de Beth es estrictamente creciente.${\displaystyle |A|^{|B|}}$es la cardinalidad del conjunto de funciones de${\displaystyle B}$a${\displaystyle A}$, entonces${\displaystyle 2^{|B|}}$es la cardinalidad del conjunto potencia de${\displaystyle B}$.)

${\displaystyle \beth _{0}=|V_{\omega }|=|\omega |=\aleph _{0}}$. En general,${\displaystyle \beth _{\alpha }\not <\aleph _{\alpha }}$para ordinal${\displaystyle \alpha }$, y${\displaystyle \aleph _{\alpha }\leq \beth _{\alpha }}$para cada límite ordinal${\displaystyle \alpha }$El axioma de elección implica que la desigualdad se cumple en general.

El segundo número de Beth${\displaystyle \beth _{1}}$es igual a${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, la cardinalidad del continuo (la cardinalidad del conjunto de los números reales ) y el tercer número de Beth${\displaystyle \beth _{2}}$es la cardinalidad del conjunto potencia del continuo.

Al igual que los números aleph, los números beth son idempotentes:${\displaystyle \beth _{\alpha }^{2}=\beth _{\alpha }}$Esto se deduce por inducción transfinita a partir de dos puntos:

• ${\displaystyle V_{\lambda }\times V_{\lambda }\subseteq V_{\lambda }}$para cada límite ordinal${\displaystyle \lambda }$; y

• ${\displaystyle (2^{\mathfrak {p}})^{2}=2^{2{\mathfrak {p}}}=2^{\mathfrak {p}}}$para cada número cardinal idempotente${\displaystyle {\mathfrak {p}}\geq 2}$.

El axioma de elección implica que todo conjunto de números cardinales tiene un supremo y que para cualquier conjunto${\displaystyle \mathbb {S} }$, el conjunto unión de todos sus miembros no puede ser mayor que el supremo de las cardinalidades de sus miembros multiplicado por su propia cardinalidad. De ello se deduce (dado el axioma) que${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}}$para cada límite ordinal${\displaystyle \lambda }$.

Nótese que este comportamiento es diferente al de los ordinales sucesores. Incluso con el axioma de elección, las cardinalidades menores que${\displaystyle \beth _{\alpha +1}}$pero mayor que${\displaystyle \beth _{\alpha }}$puede existir. (En ese caso, la existencia es indecidible en ZFC y está controlada por la Hipótesis del Continuo Generalizado ).

Incluso con el axioma de elección (siempre que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sea consistente), poco más se puede saber sobre la relación con los números aleph de lo que se ha indicado anteriormente. Por ejemplo,${\displaystyle \beth _{1}}$no puede ser${\displaystyle \aleph _{\omega }}$, pero existe un modelo en el que${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{\omega +1}}$.

Suponiendo el axioma de elección , las cardinalidades infinitas están ordenadas linealmente ; no hay dos cardinalidades que no puedan ser comparables. Dado que${\displaystyle \beth _{\alpha }\not <\aleph _{\alpha }}$, el axioma implica que ${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$ para todos los ordinales${\displaystyle \alpha }$.

Dado el axioma de elección, la hipótesis del continuo es equivalente a

${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

Sin el axioma de elección, existen afirmaciones que abordan la preocupación de Cantor sobre los subconjuntos de la recta real sin implicar obviamente que la recta real admita un buen orden. Por ejemplo, una versión de la hipótesis es que${\displaystyle {\mathfrak {p}}\leq \beth _{0}}$para cada número cardinal${\displaystyle {\mathfrak {p}}<\beth _{1}}$.

La hipótesis del continuo generalizado extiende la afirmación anterior a otros índices. Una formulación dice que la secuencia de números beth es la misma que la secuencia de números aleph , es decir, ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ para todos los ordinales${\displaystyle \alpha }$. Esta afirmación obviamente implica el axioma de elección ya que los números beth son cofinales. (En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel,${\displaystyle A\subseteq V_{\omega +\alpha }}$para algunos${\displaystyle \alpha }$, entonces${\displaystyle |A|\leq |V_{\omega +\alpha }|=\beth _{\alpha }}$De la afirmación se deduce que${\displaystyle |A|\leq \aleph _{\alpha }}$, de donde${\displaystyle A}$admite un buen ordenamiento.) Diferentes formulaciones de la hipótesis del continuo sugieren diferentes generalizaciones, pero las generalizaciones "razonables" conocidas resultan ser equivalentes e implican el axioma de elección, aunque las demostraciones son más difíciles.

El símbolo más general${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$, para ordinales${\displaystyle \alpha }$y cardenales${\displaystyle \kappa }$, se utiliza ocasionalmente. Dado el axioma de elección, se define por:

${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}$si λ es un ordinal límite.

Sin el axioma de elección, la definición es más complicada. La principal dificultad es que las cardinalidades de las uniones disjuntas infinitas no se pueden calcular solo a partir de las cardinalidades de los componentes. Siguiendo con la recursión, definimos${\displaystyle W_{\alpha }(A)}$como sigue:

${\displaystyle W_{0}(A)=A,}$

${\displaystyle W_{\alpha +1}(A)={\mathcal {P}}(W_{\alpha }(A)),}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha \in \lambda }(\{\alpha \}\times W_{\alpha }(A))}$si λ es un ordinal límite.

Se le administró una inyección.${\displaystyle f:A\to B}$, podemos construir inyecciones recursivamente${\displaystyle g_{\alpha }:W_{\alpha }(A)\to W_{\alpha }(B)}$. Si${\displaystyle f}$es una biyección entonces también lo es${\displaystyle g_{\alpha }}$, por lo que podemos definir la aplicación para números cardinales mediante${\displaystyle \beth _{\alpha }(|A|)=|W_{\alpha }(A)|}$.

De ello se deduce (fácilmente con el axioma de elección o tras un argumento más meticuloso en caso contrario) que

${\displaystyle \beth _{\omega +\alpha }(0)=\beth _{\alpha },}$

dónde${\displaystyle \beth _{\alpha }}$es un número de Beth ordinario, y

${\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }({\mathfrak {p}}))=\beth _{\alpha +\beta }({\mathfrak {p}}).}$

En particular,${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\beth _{\omega }(0))=\beth _{\alpha }(\beth _{0})=\beth _{\alpha }(\aleph _{0})}$. Para cualquier cardinal${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$y cualquier número ordinal${\displaystyle \alpha \supseteq \omega ^{2}}$,${\displaystyle \beth _{\alpha }({\mathfrak {p}})\geq \beth _{\alpha }(0)=\beth _{\alpha -\omega }=\beth _{\alpha }}$. Por otro lado,${\displaystyle {\mathfrak {p}}\leq \beth _{\beta }}$para algunos${\displaystyle \beta }$y de ello se deduce que${\displaystyle \beth _{\alpha }({\mathfrak {p}})\leq \beth _{\alpha }(\beth _{\beta })=\beth _{\beta +\alpha }=\beth _{\alpha }}$para grandes${\displaystyle \alpha }$(por ejemplo, la ordinalidad de${\displaystyle \omega }$copias de${\displaystyle \beta }$apilados linealmente). Por lo tanto, para cada número cardinal${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$Hay un número ordinal${\displaystyle \alpha _{0}}$de tal manera que

${\displaystyle \beth _{\alpha }({\mathfrak {p}})=\beth _{\alpha }}$para cada número ordinal${\displaystyle \alpha \supseteq \alpha _{0}}$.

Esto también se cumple en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con ur-elementos (con o sin el axioma de elección), siempre que los ur-elementos formen un conjunto que sea equinumérico con un conjunto puro (un conjunto cuya clausura transitiva no contiene ur-elementos). Si se cumple el axioma de elección, entonces cualquier conjunto de ur-elementos es equinumérico con un conjunto puro. (Si${\displaystyle A}$Si no es equinumérico con ningún conjunto puro, entonces no está claro qué objeto de la teoría de conjuntos sería su cardinalidad, y mucho menos.${\displaystyle \beth _{\alpha }(|A|)}$Sin embargo, aún podemos construir${\displaystyle W_{\alpha }(A)}$como arriba, y si${\displaystyle B}$es equinumeroso con${\displaystyle A}$entonces${\displaystyle W_{\alpha }(B)}$es equinumeroso con${\displaystyle W_{\alpha }(A)}$.)

La determinabilidad de Borel está implícita en la existencia de todos los bets de índice contable. ^{[ 4 ]}

• Conjunto incontable