Superficie de Bézier

Las superficies de Bézier son un tipo de spline matemática utilizada en gráficos por computadora , diseño asistido por computadora y modelado de elementos finitos . Al igual que las curvas de Bézier , una superficie de Bézier se define mediante un conjunto de puntos de control. Si bien se asemeja a la interpolación en muchos aspectos, una diferencia clave es que la superficie, por lo general, no pasa por los puntos de control centrales; en cambio, se "estira" hacia ellos como si cada uno fuera una fuerza de atracción. Son visualmente intuitivas y, para muchas aplicaciones, matemáticamente convenientes.

Las superficies de Bézier fueron descritas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier, quien las utilizó para diseñar carrocerías de automóviles . Las superficies de Bézier pueden ser de cualquier grado, pero las bicúbicas generalmente ofrecen suficientes grados de libertad para la mayoría de las aplicaciones.

Una superficie de Bézier dada de grado ( n ,  m ) se define mediante un conjunto de ( n  + 1)( m  + 1) puntos de control k _{i , j} donde i = 0, ..., n y j = 0, ..., m . Esta superficie transforma el cuadrado unitario en una superficie continua y suave incrustada en el espacio que contiene los puntos k _{i , j} ; por ejemplo, si los puntos k _{i , j} son todos puntos en un espacio de cuatro dimensiones, entonces la superficie estará dentro de un espacio de cuatro dimensiones.

Una superficie de Bézier bidimensional se puede definir como una superficie paramétrica donde la posición de un punto p en función de las coordenadas paramétricas u , v viene dada por: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\,B_{j}^{m}(v)\,\mathbf {k} _{i,j}}$

evaluado sobre el cuadrado unitario, donde

${\displaystyle B_{i}^{n}(u)={n \choose i}u^{i}(1-u)^{ni}}$

es un polinomio de Bernstein base , y

${\displaystyle {n \choose i}={\frac {n!}{i!(ni)!}}}$

es un coeficiente binomial .

Algunas propiedades de las superficies de Bézier:

• Una superficie de Bézier se transformará de la misma manera que sus puntos de control bajo todas las transformaciones y traslaciones lineales .
• Todas las líneas u = constante y v = constante en el espacio ( u , v ), y –en particular– los cuatro bordes del cuadrado unitario deformado ( u , v ) son curvas de Bézier.
• Una superficie de Bézier quedará completamente dentro de la envoltura convexa de sus puntos de control y, por lo tanto, también completamente dentro del cuadro delimitador de sus puntos de control en cualquier sistema de coordenadas cartesianas dado .
• Los puntos de la zona delimitada que corresponden a las esquinas del cuadrado unitario deformado coinciden con cuatro de los puntos de control.
• Sin embargo, una superficie de Bézier generalmente no pasa por sus otros puntos de control.

Generalmente, el uso más común de las superficies de Bézier es como redes de parches bicúbicos (donde m = n = 3). La geometría de un parche bicúbico individual queda así completamente definida por un conjunto de 16 puntos de control. Estos se unen típicamente para formar una superficie B-spline, de forma similar a como se unen las curvas de Bézier para formar una curva B-spline .

Las superficies de Bézier más simples se forman a partir de parches bicuadráticos ( m = n = 2) o triángulos de Bézier .

Las mallas de parches de Bézier son superiores a las mallas triangulares para la representación de superficies lisas. Requieren menos puntos (y, por lo tanto, menos memoria) para representar superficies curvas, son más fáciles de manipular y presentan propiedades de continuidad mucho mejores . Además, otras superficies paramétricas comunes, como esferas y cilindros, pueden aproximarse con precisión mediante un número relativamente pequeño de parches cúbicos de Bézier.

Sin embargo, las mallas de parches de Bézier son difíciles de renderizar directamente. Un problema con los parches de Bézier es que calcular sus intersecciones con líneas resulta complicado, lo que los hace poco adecuados para el trazado de rayos puro u otras técnicas geométricas directas que no utilizan subdivisión ni aproximaciones sucesivas. También son difíciles de combinar directamente con algoritmos de proyección en perspectiva.

Por este motivo, las mallas de parches de Bézier suelen descomponerse en mallas de triángulos planos mediante procesos de renderizado 3D . En el renderizado de alta calidad, la subdivisión se ajusta para que sea tan fina que los límites de los triángulos individuales no sean visibles. Para evitar un aspecto borroso, en esta etapa se suele aplicar un nivel de detalle fino a las superficies de Bézier mediante mapas de texturas , mapas de relieve y otras técnicas de sombreado de píxeles .

Un parche de Bézier de grado ( m , n ) puede construirse a partir de dos triángulos de Bézier de grado m  +  n , o a partir de un único triángulo de Bézier de grado m  +  n , con el dominio de entrada como un cuadrado en lugar de un triángulo .

También se puede construir un triángulo de Bézier de grado m a partir de una superficie de Bézier de grado ( m , m ), con los puntos de control de manera que un borde se comprima hasta convertirse en un punto, o con el dominio de entrada como un triángulo en lugar de un cuadrado.

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• interpolación bicúbica
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• Triángulo de Bézier
• Superficie de Bézier biarmónica