La identidad de Bézout

En matemáticas , la identidad de Bézout (también llamada lema de Bézout ), que recibe su nombre de Étienne Bézout , quien la demostró para polinomios, es un teorema que relaciona dos enteros arbitrarios con su máximo común divisor . El enunciado del teorema es el siguiente:

(El máximo común divisor de 0 y 0 se toma como 0 ). Los enteros x e y se llaman coeficientes de Bézout para ( a , b ) ; no son únicos. El algoritmo euclidiano extendido se puede utilizar para calcular un par mínimo de coeficientes de Bézout, lo que significa que satisfacen${\displaystyle |x|\leq |b/d|}$y${\displaystyle |y|<|a/d|}$La igualdad se da solo si uno de a y b es múltiplo del otro, y de lo contrario existen exactamente dos pares mínimos.

Como ejemplo, el máximo común divisor de${\displaystyle a=15}$y${\displaystyle b=69}$es${\displaystyle d=3}$, que puede escribirse como la combinación lineal${\displaystyle ax+by=15(-9)+69(2)=3}$con coeficientes de Bézout${\displaystyle (x,y)=(-9,2)}$, que son mínimos ya que${\displaystyle 9<69/3=23}$y${\displaystyle 2<15/3=5}$. Los otros coeficientes mínimos de Bézout son${\displaystyle (x,y)=(-9+23,2-5)=(14,-3)}$.

Muchos otros teoremas de la teoría elemental de números , como el lema de Euclides o el teorema chino del resto , pueden deducirse formalmente de la identidad de Bézout.

Un dominio de Bézout es un dominio integral en el que se cumple la identidad de Bézout. En particular, la identidad de Bézout se cumple en los dominios de ideales principales . Por lo tanto, todo teorema que se derive de la identidad de Bézout es verdadero en todos los dominios de ideales principales.

Si a y b no son ambos cero y se ha calculado un par de coeficientes de Bézout ( x , y ) (por ejemplo, utilizando el algoritmo euclidiano extendido ), todos los pares pueden representarse de la forma $${\displaystyle \left(xk{\frac {b}{d}},\ y+k{\frac {a}{d}}\right),}$$ donde k es un entero arbitrario, d es el máximo común divisor de a y b , y las fracciones se simplifican a enteros.

Si a y b son ambos distintos de cero y ninguno de ellos divide al otro, entonces exactamente dos de los pares de coeficientes de Bézout satisfacen $${\displaystyle |x|<\left|{\frac {b}{d}}\right|\quad {\text{y}}\quad |y|<\left|{\frac {a}{d}}\right|.}$$Si a y b son ambos positivos, uno tiene${\displaystyle x>0}$y${\displaystyle y<0}$para uno de estos pares, y${\displaystyle x<0}$y${\displaystyle y>0}$para el otro. Si a > 0 es un divisor de b (incluido el caso${\displaystyle b=0}$), entonces un par de coeficientes de Bézout es (1, 0) .

Esto se basa en una propiedad de la división euclidiana : dados dos enteros distintos de cero c y d , si d no divide a c , existe exactamente un par ( q , r ) tal que c = dq + r y 0 < r < | d | , y otro tal que c = dq + r y − | d | < r < 0 .

Los dos pares de coeficientes de Bézout mínimos se obtienen a partir del par dado ( x , y ) eligiendo para k en la fórmula anterior cualquiera de los dos enteros más cercanos a x / b / d .

El algoritmo euclidiano extendido siempre produce uno de estos dos pares mínimos.

Dados cualesquiera enteros distintos de cero a y b , sea S = { ax + by | x , y ∈ Z y ax + by > 0} . El conjunto S no es vacío ya que contiene a o – a (con x = ±1 e y = 0 ). Como S es un conjunto no vacío de enteros positivos, tiene un elemento mínimo d = as + bt , por el principio de buen orden . Para probar que d es el máximo común divisor de a y b , debe probarse que d es un divisor común de a y b , y que para cualquier otro divisor común c , se tiene c ≤ d .

La división euclidiana de a por d se puede escribir como $${\displaystyle a=dq+r\quad {\text{with}}\quad 0\leq r<d.}$$ El resto r está en S ∪ {0} , porque $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=a-qd\\&=a-q(as+bt)\\&=a(1-qs)-bqt.\end{aligned}}}$$ Así, r tiene la forma ax + by , y por lo tanto r ∈ S ∪ {0} . Sin embargo, 0 ≤ r < d , y d es el entero positivo más pequeño en S : el resto r no puede estar en S , lo que hace que r sea necesariamente 0. Esto implica que d es un divisor de a . De manera similar , d también es un divisor de b , y por lo tanto d es un divisor común de a y b .

Ahora bien, sea c cualquier divisor común de a y b ; es decir, existen u y v tales que a = cu y b = cv . Se tiene, por lo tanto, $${\displaystyle {\begin{aligned}d&=as+bt\\&=cus+cvt\\&=c(us+vt).\end{aligned}}}$$ Es decir, c es un divisor de d . Como d > 0 , esto implica que c ≤ d .

El matemático francés Étienne Bézout (1730–1783) demostró esta identidad para polinomios. ^{[ 2 ]} El enunciado para enteros se encuentra ya en la obra de un matemático francés anterior, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638). ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Andrew Granville rastreó la asociación del nombre de Bézout con la identidad hasta Bourbaki , argumentando que se trata de una atribución errónea, ya que la identidad está implícita en los Elementos de Euclides . ^{[ 6 ]}

• Teorema AF+BG : sobre curvas algebraicas que pasan por todos los puntos de intersección de otras dos curvas , un análogo de la identidad de Bézout para polinomios homogéneos en tres indeterminadas. 
• Ecuación diofántica : ecuación polinómica cuyas soluciones enteras se buscan. 
• Lema de Euclides : Sobre los factores primos de productos enteros 
• Teorema fundamental de la aritmética : Los números enteros tienen factorizaciones primas únicas. 

• Calculadora en línea para la identidad de Bézout
• Weisstein, Eric W. "La identidad de Bézout" . MundoMatemático .