Polígono bicéntrico

En geometría, un polígono bicéntrico es un polígono tangente (un polígono cuyos lados son tangentes a una circunferencia inscrita ) que además es cíclico , es decir, está inscrito en una circunferencia que pasa por cada vértice del polígono. Todos los triángulos y todos los polígonos regulares son bicéntricos. Por otro lado, un rectángulo con lados desiguales no es bicéntrico, ya que ninguna circunferencia puede ser tangente a sus cuatro lados.

Todo triángulo es bicéntrico. ^{[ 1 ]} En un triángulo, los radios r y R del círculo inscrito y del círculo circunscrito, respectivamente, están relacionados por la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{Rx}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}}$

donde x es la distancia entre los centros de los círculos. ^{[ 2 ]} Esta es una versión de la fórmula del triángulo de Euler .

No todos los cuadriláteros son bicéntricos (tienen tanto un círculo inscrito como un círculo circunscrito). Dados dos círculos (uno dentro del otro) con radios R y r donde${\displaystyle R>r}$, existe un cuadrilátero convexo inscrito en uno de ellos y tangente al otro si y solo si sus radios satisfacen

${\displaystyle {\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

donde x es la distancia entre sus centros. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Esta condición (y condiciones análogas para polígonos de orden superior) se conoce como el teorema de Fuss . ^{[ 4 ]}

Se conoce una fórmula general compleja para cualquier número n de lados que relaciona el radio de la circunferencia circunscrita R , el radio de la circunferencia inscrita r y la distancia x entre el circuncentro y el incentro. ^{[ 5 ]} Algunas de estas fórmulas para un n específico son:

${\displaystyle n=5:\quad r(Rx)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(Rrx)}}+(R+x){\sqrt {2R(Rrx)}},}$

${\displaystyle n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},}$

${\displaystyle n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},}$

dónde${\displaystyle p={\tfrac {R+x}{r}}}$y${\displaystyle q={\tfrac {Rx}{r}}.}$

Todo polígono regular es bicéntrico. ^{[ 2 ]} En un polígono regular, la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita son concéntricas ; es decir, comparten un centro común, que también es el centro del polígono regular, por lo que la distancia entre el incentro y el circuncentro es siempre cero. El radio de la circunferencia inscrita es la apotema (la distancia más corta desde el centro hasta el borde del polígono regular).

Para cualquier polígono regular, las relaciones entre la longitud común del lado a , el radio r del círculo inscrito y el radio R del círculo circunscrito son:

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.}$

Para algunos polígonos regulares que se pueden construir con compás y regla , tenemos las siguientes fórmulas algebraicas para estas relaciones:

Así pues, tenemos las siguientes aproximaciones decimales:

Si dos círculos son los círculos inscrito y circunscrito de un n- gono bicéntrico particular, entonces esos mismos dos círculos son los círculos inscrito y circunscrito de infinitos n- gonos bicéntricos. Más precisamente, cada línea tangente al círculo interior de los dos círculos puede extenderse a un n -gono bicéntrico colocando vértices en la línea en los puntos donde cruza el círculo exterior, continuando desde cada vértice a lo largo de otra línea tangente y continuando de la misma manera hasta que la cadena poligonal resultante se cierre en un n- gono. El hecho de que siempre ocurra está implícito en el teorema de cierre de Poncelet , que se aplica de forma más general a las cónicas inscritas y circunscritas . ^{[ 6 ]}

Además, dados un círculo circunscrito y un círculo inscrito, cada diagonal del polígono variable es tangente a un círculo fijo. ^{[ 7 ]}

• Weisstein, Eric W. "Polígono bicéntrico" . MathWorld .