Ecuación biarmónica

En matemáticas , la ecuación biarmónica es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden que surge en áreas de la mecánica de medios continuos , incluyendo la teoría de la elasticidad lineal y la solución de flujos de Stokes . Específicamente, se utiliza en el modelado de estructuras delgadas que reaccionan elásticamente a fuerzas externas.

Está escrito como $${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0}$$ o $${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0}$$ o $${\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0}$$ dónde${\displaystyle \nabla ^{4}}$, que es la cuarta potencia del operador del y el cuadrado del operador laplaciano${\displaystyle \nabla ^{2}}$(o${\displaystyle \Delta }$), se conoce como el operador biarmónico o el operador bilaplaciano . En coordenadas cartesianas , se puede escribir en${\displaystyle n}$dimensiones como: $${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi =\left(\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}\partial _{j}\partial _{j}\right)\varphi .}$$ Debido a que la fórmula aquí contiene una suma de índices, muchos matemáticos prefieren la notación${\displaystyle \Delta ^{2}}$encima${\displaystyle \nabla ^{4}}$porque el primero deja claro sobre cuáles de los índices de los cuatro operadores nabla se contratan.

Por ejemplo, en coordenadas cartesianas tridimensionales la ecuación biarmónica tiene la forma $${\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}$$ Como otro ejemplo, en un espacio de coordenadas reales n -dimensional sin el origen.${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} \right)}$, $${\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}$$ dónde $${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$ lo cual muestra, solo para n =3 y n =5,${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$es una solución a la ecuación biarmónica.

Una solución a la ecuación biarmónica se denomina función biarmónica . Cualquier función armónica es biarmónica, pero lo contrario no siempre es cierto.

En coordenadas polares bidimensionales , la ecuación biarmónica es $${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$$ que se puede resolver mediante separación de variables . El resultado es la solución de Michell .

La solución general para el caso bidimensional es $${\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}$$ dónde${\displaystyle u(x,y)}$,${\displaystyle v(x,y)}$y${\displaystyle w(x,y)}$son funciones armónicas y${\displaystyle v(x,y)}$es un conjugado armónico de${\displaystyle u(x,y)}$.

Así como las funciones armónicas en 2 variables están estrechamente relacionadas con las funciones analíticas complejas , también lo están las funciones biarmónicas en 2 variables. La forma general de una función biarmónica en 2 variables también se puede escribir como $${\displaystyle \operatorname {Estoy} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}$$ dónde${\displaystyle f(z)}$y${\displaystyle g(z)}$son funciones analíticas .

• Función armónica

• Weisstein, Eric W. "Ecuación biarmónica" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Operador biarmónico" . MathWorld .