Gravedad bimétrica

La gravedad bimétrica o bigravidad se refiere a dos clases diferentes de teorías. La primera clase de teorías se basa en teorías matemáticas modificadas de la gravedad (o gravitación) en las que se utilizan dos tensores métricos en lugar de uno. ^{[1] [2]} La segunda métrica puede introducirse a altas energías, con la implicación de que la velocidad de la luz podría depender de la energía, lo que permite modelos con una velocidad de la luz variable .

Si las dos métricas son dinámicas e interactúan, una primera posibilidad implica dos modos de gravitón , uno masivo y otro sin masa; tales teorías bimétricas están entonces estrechamente relacionadas con la gravedad masiva . ^[3] Existen varias teorías bimétricas con gravitones masivos, como las atribuidas a Nathan Rosen (1909-1995) ^{[4] [5] [6]} o Mordehai Milgrom con extensiones relativistas de la Dinámica Newtoniana Modificada ( MOND ). ^[7] Más recientemente, los desarrollos en gravedad masiva también han llevado a nuevas teorías consistentes de gravedad bimétrica. ^[8] Aunque ninguna ha demostrado explicar las observaciones físicas con mayor precisión o consistencia que la teoría de la relatividad general , se ha demostrado que la teoría de Rosen es inconsistente con las observaciones del púlsar binario Hulse-Taylor . ^[5] Algunas de estas teorías conducen a la aceleración cósmica en tiempos tardíos y, por lo tanto, son alternativas a la energía oscura . ^{[9] [10]} La gravedad bimétrica también está en desacuerdo con las mediciones de ondas gravitacionales emitidas por la fusión de estrellas de neutrones GW170817 . ^[11]

Por el contrario, la segunda clase de teorías de gravedad bimétrica no se basa en gravitones masivos y no modifica la ley de Newton , sino que describe el universo como una variedad que tiene dos métricas riemannianas acopladas , donde la materia que puebla los dos sectores interactúa a través de la gravitación (y la antigravitación si la topología y la aproximación newtoniana consideradas introducen estados de masa y energía negativos en la cosmología como una alternativa a la materia oscura y la energía oscura). Algunos de estos modelos cosmológicos también utilizan una velocidad variable de la luz en el estado de alta densidad de energía de la era dominada por la radiación del universo, desafiando la hipótesis de la inflación . ^{[12] [13] [14] [15] [16]}

En la relatividad general (RG), se supone que la distancia entre dos puntos en el espacio-tiempo está dada por el tensor métrico . La ecuación de campo de Einstein se utiliza entonces para calcular la forma de la métrica en función de la distribución de energía y momento.

En 1940, Rosen ^{[1] [2]} propuso que en cada punto del espacio-tiempo, además del tensor métrico de Riemann , hay un tensor métrico euclidiano . Por lo tanto, en cada punto del espacio-tiempo hay dos métricas: ${\displaystyle \gamma _{ij}}$$estilo de visualización g_ {ij}}$

1. ${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$
2. ${\displaystyle d\sigma ^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$

El primer tensor métrico, , describe la geometría del espacio-tiempo y, por lo tanto, el campo gravitatorio. El segundo tensor métrico, , se refiere al espacio-tiempo plano y describe las fuerzas inerciales. Los símbolos de Christoffel formados a partir de y se denotan por y respectivamente. $estilo de visualización g_ {ij}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$$estilo de visualización g_ {ij}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$

Como la diferencia de dos conexiones es un tensor, se puede definir el campo tensorial dado por: ${\displaystyle \Delta _{jk}^{i}}$

Surgen entonces dos tipos de diferenciación covariante: -diferenciación basada en (denotada por un punto y coma, p. ej . ), y diferenciación covariante basada en (denotada por una barra, p . ej. ). Las derivadas parciales ordinarias se representan con una coma (p. ej. ). Sean y los tensores de curvatura de Riemann calculados a partir de y , respectivamente. En el enfoque anterior, el tensor de curvatura es cero, ya que es la métrica del espacio-tiempo plano. ${\estilo de visualización g}$$estilo de visualización g_ {ij}}$$Estilo de visualización X_{;a}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$$Estilo de visualización X_{/a}}$$Estilo de visualización X_{,a}$${\displaystyle R_{ijk}^{h}}$${\displaystyle P_{ijk}^{h}}$$estilo de visualización g_ {ij}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$${\displaystyle P_{ijk}^{h}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$

Un cálculo sencillo produce el tensor de curvatura de Riemann

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{ijk}^{h}&=P_{ijk}^{h}-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^ {h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\\&=- \Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _ {mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\end{aligned}}}$

Cada término del lado derecho es un tensor. Se ve que a partir de la RG se puede llegar a la nueva formulación simplemente reemplazando {:} por y la diferenciación ordinaria por la diferenciación covariante, por , la medida de integración por , donde , y . Una vez introducida la teoría, se dispone de una gran cantidad de nuevos tensores y escalares. Se pueden plantear otras ecuaciones de campo distintas de las de Einstein. Es posible que algunas de ellas sean más satisfactorias para la descripción de la naturaleza. ${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {g}{\gamma }}}}$$Estilo de visualización d^{4}x$${\displaystyle {\sqrt {-\gamma }}\,d^{4}x}$${\displaystyle g=\det(g_{ij})}$${\displaystyle \gamma =\det(\gamma _ {ij})}$${\displaystyle d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$

La ecuación geodésica en la relatividad bimétrica (BR) toma la forma

Se ve a partir de las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) que pueden considerarse como la descripción del campo inercial porque se desvanece mediante una transformación de coordenadas adecuada. ${\estilo de visualización \Gamma}$

Al ser una cantidad tensora, es independiente de cualquier sistema de coordenadas y, por lo tanto, puede considerarse que describe el campo gravitacional permanente. ${\estilo de visualización \Delta}$

Rosen (1973) ha encontrado que BR satisface el principio de covarianza y equivalencia. En 1966, Rosen demostró que la introducción de la métrica espacial en el marco de la relatividad general no sólo permite obtener el tensor de densidad de momento y energía del campo gravitatorio, sino que también permite obtener este tensor a partir de un principio variacional. Las ecuaciones de campo de BR derivadas del principio variacional son

dónde

${\displaystyle N_{j}^{i}={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha })_{/\beta }}$

o

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{j}^{i}&={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }\left\{\left(g^{hi}g_{hj,\alpha }\right)_{,\beta }-\left(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}\right)_{,\beta }-\gamma ^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{j\alpha }^{i}\right)_{,\beta }+\Gamma _{\lambda \beta }^{i}\left[g^{h\lambda }g_{hj,\alpha }-g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }\right]-\right.\\&\qquad \Gamma _{j\beta }^{\lambda }\left[g^{hi}g_{h\lambda ,\alpha }-g^{hi}g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}\right]+\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }\left.\left[g^{hi}g_{hj,\lambda }-g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}\right]\right\}\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle N=g^{ij}N_{ij}}$,${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {g}{\gamma }}}}$

y es el tensor de energía-momento. $Estilo de visualización T_{j}^{i}}$

El principio variacional también conduce a la relación

${\displaystyle T_{j;i}^{i}=0}$.

De ahí que ( 3 )

${\displaystyle K_{j;i}^{i}=0}$,

lo que implica que en una BR, una partícula de prueba en un campo gravitacional se mueve sobre una geodésica con respecto a${\displaystyle g_{ij}.}$

Rosen continuó mejorando su teoría de la gravedad bimétrica con publicaciones adicionales en 1978 ^[17] y 1980 ^[18] , en las que intentó "eliminar las singularidades que surgen en la relatividad general modificándola para tener en cuenta la existencia de un marco de reposo fundamental en el universo". En 1985 ^[19] Rosen intentó nuevamente eliminar las singularidades y los pseudotensores de la relatividad general. En dos ocasiones en 1989, con publicaciones en marzo ^[20] y noviembre ^[21], Rosen desarrolló aún más su concepto de partículas elementales en un campo bimétrico de la relatividad general.

Se encuentra que las teorías BR y GR difieren en los siguientes casos:

• propagación de ondas electromagnéticas
• El campo externo de una estrella de alta densidad.
• el comportamiento de ondas gravitacionales intensas que se propagan a través de un fuerte campo gravitacional estático.

Desde 1992 se ha demostrado que las predicciones de radiación gravitacional en la teoría de Rosen están en conflicto con las observaciones del púlsar binario Hulse-Taylor . ^[5]

Desde 2010 ha habido un renovado interés en la bigravedad después del desarrollo por Claudia de Rham , Gregory Gabadadze y Andrew Tolley (dRGT) de una teoría saludable de la gravedad masiva. ^[22] La gravedad masiva es una teoría bimétrica en el sentido de que los términos de interacción no triviales para la métrica solo se pueden escribir con la ayuda de una segunda métrica, ya que el único término no derivado que se puede escribir usando una métrica es una constante cosmológica . En la teoría dRGT, se introduce una "métrica de referencia" no dinámica y los términos de interacción se construyen a partir de la raíz cuadrada de la matriz de . ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$${\displaystyle f_{\mu \nu}}$$estilo de visualización g-1 f$

En la gravedad masiva dRGT, la métrica de referencia debe especificarse manualmente. Se puede dar a la métrica de referencia un término de Einstein-Hilbert , en cuyo caso no se elige sino que evoluciona dinámicamente en respuesta a y posiblemente a la materia. Esta bigravidad masiva fue introducida por Fawad Hassan y Rachel Rosen como una extensión de la gravedad masiva dRGT. ^{[3] [23]}${\displaystyle f_{\mu \nu}}$${\displaystyle g_{\mu \nu}}$

La teoría dRGT es crucial para desarrollar una teoría con dos métricas dinámicas porque las teorías bimétricas generales están plagadas del fantasma de Boulware-Deser , una posible sexta polarización para un gravitón masivo. ^[24] El potencial dRGT está construido específicamente para hacer que este fantasma sea no dinámico, y mientras el término cinético para la segunda métrica sea de la forma de Einstein-Hilbert, la teoría resultante permanece libre de fantasmas. ^[3]

La acción para la bigreversidad masiva libre de fantasmas está dada por ^[25]

${\displaystyle S=-{\frac {M_{g}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}R(g)-{\frac {M_{f}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-f}}R(f)+m^{2}M_{g}^{2}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\displaystyle \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}e_{n}(\mathbb {X} )+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i}).}$

Al igual que en la relatividad general estándar, la métrica tiene un término cinético de Einstein-Hilbert proporcional al escalar de Ricci y un acoplamiento mínimo al lagrangiano de materia , con que representa todos los campos de materia, como los del Modelo Estándar . También se da un término de Einstein-Hilbert para . Cada métrica tiene su propia masa de Planck , denotada y respectivamente. El potencial de interacción es el mismo que en la gravedad masiva dRGT. Las son constantes de acoplamiento adimensionales y (o específicamente ) está relacionado con la masa del gravitón masivo. Esta teoría propaga siete grados de libertad, correspondientes a un gravitón sin masa y un gravitón masivo (aunque los estados masivo y sin masa no se alinean con ninguna de las métricas). ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R(g)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }}$${\displaystyle \Phi _{i}}$${\displaystyle f_{\mu \nu }}$${\displaystyle M_{g}}$${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \beta _{i}^{1/2}m}$

El potencial de interacción se construye a partir de los polinomios simétricos elementales de los valores propios de las matrices o , parametrizados por constantes de acoplamiento adimensionales o , respectivamente. Aquí está la raíz cuadrada matricial de la matriz . Escrita en notación de índice, se define por la relación ${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f}}}$${\displaystyle \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f}}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle {\sqrt {g^{-1}f}}}$${\displaystyle g^{-1}f}$${\displaystyle \mathbb {X} }$

${\displaystyle X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }.}$

Se puede escribir directamente en términos de como ${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle \mathbb {X} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )&=1,\\e_{1}(\mathbb {X} )&=[\mathbb {X} ],\\e_{2}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{2}}\left([\mathbb {X} ]^{2}-[\mathbb {X} ^{2}]\right),\\e_{3}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{6}}\left([\mathbb {X} ]^{3}-3[\mathbb {X} ][\mathbb {X} ^{2}]+2[\mathbb {X} ^{3}]\right),\\e_{4}(\mathbb {X} )&=\operatorname {det} \mathbb {X} ,\end{aligned}}}$

donde los corchetes indican un rastro , . Es la combinación antisimétrica particular de términos en cada uno de los que es responsable de hacer que el fantasma de Boulware-Deser no sea dinámico. ${\displaystyle [\mathbb {X} ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }}$${\displaystyle e_{n}}$

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