Número binomial

En matemáticas , específicamente en teoría de números , un número binomial es un número entero que se obtiene al evaluar un polinomio homogéneo de dos términos. Es una generalización de un número de Cunningham .

Un número binomial es un número entero que se obtiene al evaluar un polinomio homogéneo que contiene dos términos, también llamado binomio . La forma de este binomio es${\displaystyle x^{n}\!\pm y^{n}}$, con${\displaystyle x>y}$y${\displaystyle n>1}$. Sin embargo, dado que${\displaystyle x^{n}\!-y^{n}}$siempre es divisible por${\displaystyle xy}$, al estudiar los números generados a partir de la versión con el signo negativo, generalmente se dividen por${\displaystyle xy}$Primero. Los números binomiales formados de esta manera forman secuencias de Lucas . Específicamente:

${\displaystyle U_{n}(a+b,ab)={\frac {a^{n}-b^{n}}{ab}},}$y${\displaystyle V_{n}(a+b,ab)=a^{n}\!+b^{n}}$

Los números binomiales son una generalización de los números de Cunningham , y se verá que los números de Cunningham son números binomiales donde${\displaystyle y=1}$Otros subconjuntos de los números binomiales son los números de Mersenne y las repunidades .

La razón principal para estudiar estos números es obtener sus factorizaciones . Aparte de los factores algebraicos , que se obtienen factorizando el polinomio subyacente (binomio) que se utilizó para definir el número, como la diferencia de dos cuadrados y la suma de dos cubos , existen otros factores primos (llamados factores primos primitivos, porque para un número dado${\displaystyle x^{n}\!\pm y^{n}}$no factorizan${\displaystyle x^{m}\!\pm y^{m}}$con${\displaystyle m<n}$, salvo un pequeño número de excepciones, como se indica en el teorema de Zsigmondy ), que ocurren aparentemente al azar, y son estas las que busca el teórico de números.

Algunos binomios subyacentes a números binomiales tienen factorizaciones aurifeulianas , ^{[ 1 ]} que pueden ayudar a encontrar factores primos. Los polinomios ciclotómicos también son útiles para encontrar factorizaciones. ^{[ 2 ]}

La cantidad de trabajo necesaria para buscar un factor se reduce considerablemente al aplicar el teorema de Legendre. ^{[ 3 ]} Este teorema establece que todos los factores de un número binomial son de la forma${\displaystyle kn+1}$si${\displaystyle n}$es par o${\displaystyle 2kn+1}$si es impar .

Algunas personas escriben "número binomial" cuando se refieren al coeficiente binomial , pero este uso no es estándar y está en desuso.

• Proyecto Cunningham

• Riesel, Hans (1994). Números primos y métodos computacionales para la factorización . Progress in Mathematics. Vol.  126 (2.ª  ed.). Boston, MA: Birkhauser. ISBN 0-8176-3743-5. Zbl 0821.11001 . 

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