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Articulo de referencia

Desigualdad de suma de varianzas binomiales

La desigualdad de la suma de varianza binomial establece que la varianza de la suma de variables aleatorias con distribución binomial siempre será menor o igual que la varianza ...

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La desigualdad de la suma de varianza binomial establece que la varianza de la suma de variables aleatorias con distribución binomial siempre será menor o igual que la varianza de una variable binomial con los mismos parámetros n y p . En teoría de la probabilidad y estadística , la suma de variables aleatorias binomiales independientes es en sí misma una variable aleatoria binomial si todas las variables componentes comparten la misma probabilidad de éxito. Si las probabilidades de éxito difieren, la distribución de probabilidad de la suma no es binomial. [ 1 ] La falta de uniformidad en las probabilidades de éxito entre ensayos independientes conduce a una varianza menor. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] y es un caso especial de un teorema más general que involucra el valor esperado de funciones convexas. [ 7 ] En algunas aplicaciones estadísticas, el estimador de varianza binomial estándar puede usarse incluso si las probabilidades componentes difieren, aunque con una estimación de varianza que tiene un sesgo al alza .

Declaración sobre la desigualdad

Consideremos la suma, Z , de dos variables aleatorias binomiales independientes, X ~ B( m 0 , p 0 ) e Y ~ B( m 1 , p 1 ), donde Z = X + Y . Entonces, la varianza de Z es menor o igual que su varianza bajo el supuesto de que p 0 = p 1 =pag¯{\displaystyle {\bar {p}}}, es decir, si Z tuviera una distribución binomial con una probabilidad de éxito igual al promedio de las probabilidades de X e Y. [ 8 ] Simbólicamente,Var(Z)⩽mi[Z](1−mi[Z]metro0+metro1){\displaystyle Var(Z)\leqslant E[Z](1-{\tfrac {E[Z]}{m_{0}+m_{1}}})}.

Prueba

Deseamos demostrar que

Var(Z)⩽mi[Z](1−mi[Z]metro0+metro1){\displaystyle Var(Z)\leqslant E[Z](1-{\frac {E[Z]}{m_{0}+m_{1}}})}

Demostraremos esta desigualdad encontrando una expresión para Var( Z ) y sustituyéndola en el lado izquierdo, para luego demostrar que la desigualdad siempre se cumple.

Si Z tiene una distribución binomial con parámetros n y p , entonces el valor esperado de Z viene dado por E[ Z ] = np y la varianza de Z viene dada por Var[ Z ] = np (1 – p ). Haciendo n = m₀ + m₁ y sustituyendo E[ Z ] por np se obtiene

Var(Z)=mi[Z](1−mi[Z]metro0+metro1){\displaystyle Var(Z)=E[Z](1-{\frac {E[Z]}{m_{0}+m_{1}}})}

Las variables aleatorias X e Y son independientes, por lo que la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas , es decir,

Var(Z)=mi[incógnita](1−mi[incógnita]metro0)+mi[Y](1−mi[Y]metro1){\displaystyle Var(Z)=E[X](1-{\frac {E[X]}{m_{0}}})+E[Y](1-{\frac {E[Y]}{m_{1}}})}

Para demostrar el teorema, basta con probar que

mi[incógnita](1−mi[incógnita]metro0)+mi[Y](1−mi[Y]metro1)⩽mi[Z](1−mi[Z]metro0+metro1){\displaystyle E[X](1-{\frac {E[X]}{m_{0}}})+E[Y](1-{\frac {E[Y]}{m_{1}}})\leqslant E[Z](1-{\frac {E[Z]}{m_{0}+m_{1}}})}

Sustituyendo E[ X ] + E[ Y ] por E[ Z ] se obtiene

mi[incógnita](1−mi[incógnita]metro0)+mi[Y](1−mi[Y]metro1)⩽(mi[incógnita]+mi[Y])(1−mi[incógnita]+mi[Y]metro0+metro1){\displaystyle E[X](1-{\frac {E[X]}{m_{0}}})+E[Y](1-{\frac {E[Y]}{m_{1}}})\leqslant (E[X]+E[Y])(1-{\frac {E[X]+E[Y]}{m_{0}+m_{1}}})}

Al multiplicar los paréntesis y restar E[X] + E[Y] de ambos lados se obtiene:

−mi[incógnita]2metro0−mi[Y]2metro1⩽−(mi[incógnita]+mi[Y])2metro0+metro1{\displaystyle -{\frac {E[X]^{2}}{m_{0}}}-{\frac {E[Y]^{2}}{m_{1}}}\leqslant -{\frac {(E[X]+E[Y])^{2}}{m_{0}+m_{1}}}}

Al multiplicar los paréntesis se obtiene

mi[incógnita]−mi[incógnita]2metro0+mi[Y]−mi[Y]2metro1⩽mi[incógnita]+mi[Y]−(mi[incógnita]+mi[Y])2metro0+metro1{\displaystyle E[X]-{\frac {E[X]^{2}}{m_{0}}}+E[Y]-{\frac {E[Y]^{2}}{m_{1}}}\leqslant E[X]+E[Y]-{\frac {(E[X]+E[Y])^{2}}{m_{0}+m_{1}}}}

Restando E[X] y E[Y] de ambos lados e invirtiendo la desigualdad se obtiene

mi[incógnita]2metro0+mi[Y]2metro1⩾(mi[incógnita]+mi[Y])2metro0+metro1{\displaystyle {\frac {E[X]^{2}}{m_{0}}}+{\frac {E[Y]^{2}}{m_{1}}}\geqslant {\frac {(E[X]+E[Y])^{2}}{m_{0}+m_{1}}}}

Al expandir el lado derecho se obtiene

mi[incógnita]2metro0+mi[Y]2metro1⩾mi[incógnita]2+2mi[incógnita]mi[Y]+mi[Y]2metro0+metro1{\displaystyle {\frac {E[X]^{2}}{m_{0}}}+{\frac {E[Y]^{2}}{m_{1}}}\geqslant {\frac {E[X]^{2}+2E[X]E[Y]+E[Y]^{2}}{m_{0}+m_{1}}}}

Multiplicando pormetro0metro1(metro0+metro1){\displaystyle m_{0}m_{1}(m_{0}+m_{1})}rendimientos

(metro0metro1+metro12)mi[incógnita]2+(metro02+metro0metro1)mi[Y]2⩾metro0metro1(mi[incógnita]2+2mi[incógnita]mi[Y]+mi[Y]]2){\displaystyle (m_{0}m_{1}+{m_{1}}^{2}){E[X]^{2}}+({m_{0}}^{2}+m_{0}m_{1}){E[Y]^{2}}\geqslant m_{0}m_{1}({E[X]}^{2}+2E[X]E[Y]+{E[Y]]^{2}})}

Al restar el lado derecho se obtiene la relación

metro12mi[incógnita]2−2metro0metro1mi[incógnita]mi[Y]+metro02mi[Y]2⩾0{\displaystyle {m_{1}}^{2}{E[X]^{2}}-2m_{0}m_{1}E[X]E[Y]+{m_{0}}^{2}{E[Y]^{2}}\geqslant 0}

o equivalentemente

(metro1mi[incógnita]−metro0mi[Y])2⩾0{\displaystyle (m_{1}E[X]-m_{0}E[Y])^{2}\geqslant 0}

El cuadrado de un número real siempre es mayor o igual que cero, por lo que esto se cumple para todas las distribuciones binomiales independientes que X e Y podrían tomar. Esto es suficiente para demostrar el teorema.

Aunque esta demostración se desarrolló para la suma de dos variables, se generaliza fácilmente a valores mayores que dos. Además, si se conocen las probabilidades de éxito individuales, entonces se sabe que la varianza toma la forma [ 6 ].

Var⁡(Z)=nortepag¯(1−pag¯)−nortes2,{\displaystyle \operatorname {Var} (Z)=n{\bar {p}}(1-{\bar {p}})-ns^{2},}

dóndepag¯{\displaystyle {\bar {p}}}es la probabilidad promedio ys2=1norte∑i=1norte(pagi−pag¯)2{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-{\bar {p}})^{2}}. Esta expresión también implica que la varianza siempre es menor que la de la distribución binomial conpag=pag¯{\displaystyle p={\bar {p}}}, porque la expresión estándar para la varianza se reduce en ns 2 , un número positivo.

Aplicaciones

La desigualdad puede ser útil en el contexto de pruebas múltiples , donde se realizan muchas pruebas de hipótesis estadísticas dentro de un estudio particular. Cada prueba puede tratarse como una variable de Bernoulli con una probabilidad de éxito p . Consideremos el número total de pruebas positivas como una variable aleatoria denotada por S. Esta cantidad es importante en la estimación de las tasas de falsos descubrimientos (FDR) , que cuantifican la incertidumbre en los resultados de las pruebas. Si la hipótesis nula es verdadera para algunas pruebas y la hipótesis alternativa es verdadera para otras, entonces es probable que las probabilidades de éxito difieran entre estos dos grupos. Sin embargo, el teorema de la desigualdad de varianza establece que si las pruebas son independientes, la varianza de S no será mayor que la que sería bajo una distribución binomial.

Referencias

  1. ↑ Butler, Ken; Stephens, Michael (1993). "La distribución de una suma de variables aleatorias binomiales" (PDF) . Informe técnico n.° 467. Departamento de Estadística, Universidad de Stanford. Archivado (PDF) del original el 11 de abril de 2021.
  2. ↑ Nedelman, J y Wallenius, T., 1986. Ensayos de Bernoulli, ensayos de Poisson, varianzas sorprendentes y la desigualdad de Jensen. The American Statistician, 40(4):286–289.
  3. ↑ Feller, W. 1968. Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones (Vol. 1, 3.ª ed.). Nueva York: John Wiley.
  4. ↑ Johnson, NL y Kotz, S. 1969. Distribuciones discretas. Nueva York: John Wiley
  5. ↑ Kendall, M. y Stuart, A. 1977. Teoría avanzada de la estadística. Nueva York: Macmillan.
  6. 1 2 Drezner, Zvi; Farnum, Nicholas (1993). "Una distribución binomial generalizada". Communications in Statistics - Theory and Methods . 22 (11): 3051– 3063. doi : 10.1080/03610929308831202 . ISSN 0361-0926 . 
  7. ↑ Hoeffding, W. 1956. Sobre la distribución del número de éxitos en ensayos independientes. Anales de Estadística Matemática (27):713–721.
  8. ↑ Millstein, J.; Volfson, D. (2013). "Estimación de intervalos de confianza basada en permutaciones computacionalmente eficiente para FDR de área de cola" . Frontiers in Genetics . 4 (179): 1– 11. doi : 10.3389/fgene.2013.00179 . PMC 3775454. PMID 24062767 .