Coordenadas cilíndricas bipolares

Las coordenadas cilíndricas bipolares son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resulta de proyectar el sistema de coordenadas bipolares bidimensionales en la dirección perpendicular . Las dos líneas de focos y de los círculos apolíneos proyectados se consideran generalmente definidas por y , respectivamente, (y por ) en el sistema de coordenadas cartesianas . ${\estilo de visualización z}$ $Estilo de visualización F_{1}$$Estilo de visualización F_{2}$${\displaystyle x=-a}$${\displaystyle x=+a}$${\displaystyle y=0}$

El término "bipolar" se utiliza a menudo para describir otras curvas que tienen dos puntos singulares (focos), como las elipses , las hipérbolas y los óvalos de Cassini . Sin embargo, el término coordenadas bipolares nunca se utiliza para describir las coordenadas asociadas con esas curvas, por ejemplo, las coordenadas elípticas .

La definición más común de coordenadas cilíndricas bipolares es ${\displaystyle (\sigma,\tau,z)}$

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle z=\ z}$

donde la coordenada de un punto es igual al ángulo y la coordenada es igual al logaritmo natural de la relación de las distancias y las líneas focales ${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización P}$$Estilo de visualización F_{1}PF_{2}}$${\estilo de visualización \tau}$$estilo de visualización d_{1}}$$estilo de visualización d_{2}$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

(Recuerde que las líneas focales y están ubicadas en y , respectivamente). $Estilo de visualización F_{1}$$Estilo de visualización F_{2}$${\displaystyle x=-a}$${\displaystyle x=+a}$

Las superficies de constante corresponden a cilindros de diferentes radios. ${\estilo de visualización \sigma}$

${\displaystyle x^{2}+\left(ya\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

que pasan todas por las líneas focales y no son concéntricas. Las superficies de constante son cilindros no intersecantes de diferentes radios. ${\estilo de visualización \tau}$

${\displaystyle y^{2}+\left(xa\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

que rodean las líneas focales pero que tampoco son concéntricas. Las líneas focales y todos estos cilindros son paralelos al eje (la dirección de proyección). En el plano, los centros de los cilindros constantes y constantes se encuentran en los ejes y , respectivamente. ${\estilo de visualización z}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Los factores de escala para las coordenadas bipolares y son iguales ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

mientras que el factor de escala restante . Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a ${\displaystyle h_{z}=1}$

${\displaystyle dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz}$

y el laplaciano viene dado por

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

Otros operadores diferenciales como y pueden expresarse en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas bipolares son la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las que las coordenadas bipolares permiten una separación de variables (en 2D). Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea a dos conductores cilíndricos paralelos.

• Margenau H , Murphy GM (1956). Las matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. págs. 187–190. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 182. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Coordenadas cónicas (r, θ, λ)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª edición corregida, 3.ª edición impresa). Nueva York: Springer-Verlag. Desconocido. ISBN 978-0-387-18430-2.

• Descripción de MathWorld de las coordenadas cilíndricas bipolares