Pirámide bifásica

En geometría, una bipirámide , dipirámide o pirámide doble es un poliedro formado por la fusión de dos pirámides base con base. Por lo tanto, la base poligonal de cada pirámide debe ser la misma, y a menos que se especifique lo contrario, los vértices de la base suelen ser coplanares y una bipirámide suele ser simétrica , lo que significa que las dos pirámides son imágenes especulares con respecto a su plano base común. Cuando cada vértice ( pl. vértices , los vértices fuera de la base) de la bipirámide está en una línea perpendicular a la base y que pasa por su centro, es una bipirámide recta ; ^{[ a ]} de lo contrario es oblicua . Cuando la base es un polígono regular , la bipirámide también se llama regular .

Definición y propiedades

La bipirámide triangular , la bipirámide cuadrada y la bipirámide pentagonal .

Una bipirámide es un poliedro construido mediante la fusión de dos pirámides que comparten la misma base poligonal ; ^[¹^] una pirámide se construye a su vez conectando cada vértice de su base a un nuevo vértice (el ápice ) que no se encuentra en el plano de la base, formando así una base $n$ - gonal $con n$ caras triangulares además de la cara base. Una bipirámide $n$ - gonal tiene, por lo tanto, $2$ $n$ caras, $3$ $n$ aristas y $n$ $+ 2$ vértices.En términos más generales, una pirámide recta es una pirámide cuyos vértices se encuentran en la línea perpendicular que pasa por el centroide de un polígono arbitrario o por el incentro de un polígono tangente , según la fuente. ^{[ a ]} Asimismo, una bipirámide recta es un poliedro construido mediante la unión de dos bases de bipirámides rectas simétricas; las bipirámides cuyos vértices no se encuentran en esta línea se denominan bipirámides oblicuas . ^{[ 2 ]}

Cuando las dos pirámides son imágenes especulares, la bipirámide se llama simétrica . Se llama regular si su base es un polígono regular . ^{[ 1 ]} Cuando la base es un polígono regular y los vértices están en la línea perpendicular que pasa por su centro (una bipirámide recta regular ), entonces todas sus caras son triángulos isósceles ; a veces el nombre bipirámide se refiere específicamente a bipirámides rectas regulares simétricas, ^{[ 3 ]} Ejemplos de tales bipirámides son la bipirámide triangular , el octaedro (bipirámide cuadrada) y la bipirámide pentagonal . Si todas sus aristas tienen la misma longitud, estas figuras consisten en caras triangulares equiláteras , lo que las convierte en deltaedros ; ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} la bipirámide triangular y la bipirámide pentagonal son sólidos de Johnson , y el octaedro regular es un sólido platónico . ^{[ 6 ]}

Las bipirámides rectas regulares simétricas tienen simetría prismática , con grupo de simetría diedral $D nh$ de orden $4 n$ : no cambian cuando se rotan $⁠ 1 / n ⁠$ de una vuelta alrededor del eje de simetría , se reflejan a través de cualquier plano que pase por ambos vértices y un vértice de la base o ambos vértices y el centro de una arista de la base, o se reflejan a través del plano de simetría. ^{[ 7 ]} Debido a que sus caras son transitivas bajo estas transformaciones de simetría, son isoédricas . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Son los poliedros duales de los prismas y los prismas son también los duales de las bipirámides; los vértices de las bipirámides corresponden a las caras del prisma, y las aristas entre pares de vértices de una corresponden a las aristas entre pares de caras de la otra, y viceversa. ^{[ 10 ]} Los prismas comparten la misma simetría que las bipirámides. ^{[ 11 ]} El octaedro regular es aún más simétrico, ya que sus vértices de la base y los ápices son indistinguibles y pueden intercambiarse mediante reflexiones o rotaciones ; el octaedro regular y su dual, el cubo , tienen simetría octaédrica . ^{[ 12 ]}

El volumen de una bipirámide simétrica es ${\frac {2}{3}}Bh,$ donde $B$ es el área de la base y $h$ la distancia perpendicular desde el plano de la base a cualquiera de los vértices. En el caso de un polígono regular de $n$ lados con longitud de lado $s$ y cuya altura es $h$ , el volumen de dicha bipirámide es: ${\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

Bipirámides relacionadas y de otros tipos

Una bipirámide tetragonal cóncava

Una bipirámide hexagonal asimétrica

Bipirámides cóncavas

Una bipirámide cóncava tiene una base poligonal cóncava ; un ejemplo de ello es una bipirámide tetragonal cóncava o un octaedro cóncavo irregular. Una bipirámide con una base poligonal arbitraria podría considerarse una bipirámide recta si sus vértices se encuentran sobre una línea perpendicular a la base que pasa por su centroide .

Bipirámides asimétricas

Una bipirámide asimétrica tiene vértices que no son simétricos respecto al plano de la base; en una bipirámide recta, esto solo ocurre si cada vértice está a una distancia diferente de la base.

El dual de una bipirámide $n$ -gonal recta asimétrica es un tronco de pirámide $n$ -gonal .

Una bipirámide recta $n$ -gonal asimétrica regular tiene grupo de simetría $C n v$ , de orden $2 n$ .

bipirámides triangulares escalenas

Ejemplo: bipirámide ditetragonal ( $2n = 2\times4$ )

Una bipirámide di- $n$ -gonal recta (simétrica) isotoxal es una bipirámide $2 n$ -gonal recta (simétrica) con una base poligonal plana isotoxal $: sus 2 n$ vértices basales son coplanares, pero se alternan en dos radios .

Todas sus caras son triángulos escalenos congruentes y es isoédrico . Puede considerarse como otro tipo de escalenoedro $digonal$ simétrico recto , con una base poligonal plana isotoxal.

Una bipirámide di $-n-$ gonal isotoxal recta (simétrica) tiene $n$ ejes de rotación de orden dos que pasan por vértices basales opuestos, $n$ planos de reflexión que pasan por aristas apicales opuestas, un eje de rotación de orden $n$ que pasa por los ápices, un plano de reflexión que pasa por la base y un eje de rotación-reflexión de orden $n que pasa por los ápices,$ ^[¹³^] que representa el grupo de simetría $D$ $n$ $h$ $, [$ $n$ $,2], (*22$ $n$ $),$ de orden $4$ $n$ . (La reflexión sobre el plano de la base corresponde a la rotación-reflexión $de 0°$ . Si $n$ es par, entonces hay una simetría de inversión sobre el centro, que corresponde a la rotación-reflexión $de 180°$ .)

Ejemplo con $2 n = 2\times3$ :

Una bipirámide ditrigonal isotoxal recta (simétrica) tiene tres planos verticales de simetría similares, que se intersecan en un eje de rotación (vertical) de orden

3 ; perpendicular a ellos hay un cuarto plano de simetría (horizontal); en la intersección de los tres planos verticales con el plano horizontal hay tres ejes de rotación (horizontales) de orden

2

similares ; no hay centro de simetría de inversión, ^{[ 14 ]} pero hay un centro de simetría : el punto de intersección de los cuatro ejes.

Ejemplo con $2 n = 2\times4$ :

Una bipirámide ditetragonal isotoxal recta (simétrica) tiene cuatro planos verticales de simetría de dos tipos, que se intersecan en un eje de rotación (vertical)

cuádruple

; perpendicular a ellos hay un quinto plano de simetría (horizontal); en la intersección de los cuatro planos verticales con el plano horizontal hay cuatro ejes de rotación (horizontales)

dobles

de dos tipos, cada uno perpendicular a un plano de simetría; dos planos verticales bisecan los ángulos entre dos ejes horizontales; y hay un centro de simetría de inversión. ^{[ 15 ]}

Ejemplo doble:

La bipirámide con vértices de base isotoxales de 2×2 polígonos U, U', V, V' y vértices simétricos rectos A, A'. ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,0),&\quad V&=(0,2,0),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,0),&\quad V'&=(0,-2,0),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,0),&\quad V&=(0,2,0),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,0),&\quad V'&=(0,-2,0),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}$ tiene caras isósceles. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}$
- Longitudes de los bordes de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\,;$
- Longitudes del borde apical inferior (iguales a las longitudes del borde superior): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {5}}\,.\end{aligned}}$

La bipirámide con los mismos vértices de la base, pero con vértices simétricos a la derecha. ${\begin{aligned}A&=(0,0,2),\\A'&=(0,0,-2),\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}A&=(0,0,2),\\A'&=(0,0,-2),\end{aligned}}$ También tiene caras isósceles. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {2}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde base (igual que en el ejemplo anterior): ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\,;$
- Longitudes del borde apical inferior (iguales a las longitudes del borde superior): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}$

En cristalografía , existen bipirámides isotoxales rectas (simétricas) didigogonales ^{[ b ]} (8 caras), ditrigonales (12 caras), ditetragonales (16 caras) y dihexagonales (24 caras). ^{[ 13 ]}^{[ 16 ]}

escalenoedros

Ejemplo: escalenoedro ditrigonal ( $2 n = 2\times3$ )

Un escalenoedro es similar a una bipirámide; la diferencia es que los escalenoedros tienen un patrón en zigzag en las aristas centrales. ^{[ 17 ]}

Tiene dos vértices y $2 n$ vértices basales, $4 n$ caras y $6 n$ aristas; es topológicamente idéntica a una bipirámide $2 n$ -gonal, pero sus $2 n$ vértices basales se alternan en dos anillos por encima y por debajo del centro. ^{[ 16 ]}

Todas sus caras son triángulos escalenos congruentes y es isoédrica . Puede considerarse como otro tipo de bipirámide digonal simétrica recta $,$ con una base poligonal oblicua en zigzag regular.

$Un escalenoedro di- n-$ gonal regular con simetría derecha tiene $n$ ejes de rotación de orden dos que pasan por aristas basales medias opuestas, $n$ planos de reflexión que pasan por aristas apicales opuestas, un eje de rotación de orden $n$ $que$ pasa por los ápices y un eje de rotación-reflexión de orden $2n$ $que$ pasa por los ápices (alrededor del cual $1n$ rotaciones-reflexiones preservan globalmente el sólido), ^[¹³^] que representa el grupo de simetría $D$ $n$ $v$ $= D$ $n$ $d$ $, [2$ $+$ $,2$ $n$ $], (2*$ $n$ $),$ de orden $4$ $n$ . (Si $n$ es impar, entonces hay una simetría de inversión alrededor del centro, que corresponde a la rotación-reflexión $de 180°$ ).

Ejemplo con $2 n = 2\times3$ :

Un escalenoedro ditrigonal simétrico recto regular tiene tres planos de simetría verticales similares inclinados entre sí a

60°

y que se intersecan en un eje de rotación (vertical) de orden

3

, tres ejes de rotación horizontales similares de orden

2

, cada uno perpendicular a un plano de simetría, un centro de simetría de inversión, ^{[ 18 ]} y un eje de rotación-reflexión vertical de orden

6

.

Ejemplo con $2 n = 2\times2$ :

Un escalenoedro didigonal simétrico recto regular tiene solo un eje de rotación vertical y dos horizontales de orden

2

, dos planos de simetría verticales que bisecan los ángulos entre el par de ejes horizontales y un eje de rotación-reflexión vertical de orden

4 ;

^{[ 19 ]} no tiene centro de simetría de inversión.

Para como máximo dos valores particulares de $z_{A}=|z_{A'}|,$ Las caras de dicho hedrón escaleno pueden ser isósceles .

Ejemplo doble:

El escalenoedro con vértices base U, U', V, V' de polígono de 2×2 con simetría en zigzag regular y vértices A, A'. ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=(0,3,-2),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=(0,-3,-2),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=(0,3,-2),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=(0,-3,-2),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$ tiene caras isósceles. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {34}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\,;$
- Longitudes del borde apical inferior (iguales a las longitudes del borde superior intercambiadas): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}$

El escalenoedro con los mismos vértices de la base, pero con ápices simétricos a la derecha. ${\begin{aligned}A&=(0,0,7),\\A'&=(0,0,-7),\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}A&=(0,0,7),\\A'&=(0,0,-7),\end{aligned}}$ También tiene caras isósceles. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=3{\sqrt {10}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde base (igual que en el ejemplo anterior): ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\,;$
- Longitudes del borde apical inferior (iguales a las longitudes del borde superior intercambiadas): ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {34}}\,.\end{aligned}}$

En cristalografía , existen escalenoedros didigonales ( $de 8$ caras) y ditrigonales ( $de 12 caras) regulares con simetría derecha.$ ^{[ 13 ]}^{[ 16 ]}

Los escalenoedros geométricos más pequeños tienen ocho caras y son topológicamente idénticos al octaedro regular . En este caso ( $2n = 2\times2$ ), en cristalografía, un escalenoedro didigogonal regular simétrico a la derecha ( $de$ $8$ caras) se denomina escalenoedro tetragonal . ^{[ 13 ]}^{[ 16 ]}

Centrémonos temporalmente en los escalenoedros regulares de simetría derecha $de 8$ caras con $h = r,$ es decir $z_{A}=|z_{A'}|=x_{U}=|x_{U'}|=y_{V}=|y_{V'}|.$ Sus dos ápices pueden representarse como $A, A'$ y sus cuatro vértices basales como $U, U', V, V'$ : ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,z),&\quad V&=(0,1,-z),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,z),&\quad V'&=(0,-1,-z),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}$ donde $z$ es un parámetro entre $0$ y $1$ .

En $z = 0$ , es un octaedro regular; en $z = 1$ , tiene cuatro pares de caras coplanares, y al fusionarlas en cuatro triángulos isósceles congruentes se convierte en un disfenoides ; para $z > 1$ , es cóncavo.

Si la base de $2 n$ polígonos es isotoxal de adentro hacia afuera y sesgada en zigzag , entonces no todas las caras del escalenoedro isotoxal simétrico a la derecha son congruentes.

Ejemplo con cinco longitudes de arista diferentes:

El escalenoedro con vértices base U, U', V, V' de 2×2 -gono sesgados en zigzag de entrada y salida isotoxales y ápices simétricos a la derecha A, A'. ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,1),&\quad V&=(0,2,-1),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-1,0,1),&\quad V'&=(0,-2,-1),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,1),&\quad V&=(0,2,-1),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-1,0,1),&\quad V'&=(0,-2,-1),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}$ Tiene caras superiores escalenas congruentes y caras inferiores escalenas congruentes, pero no todas sus caras son congruentes. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3;$
- Longitudes del borde apical inferior: ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {17}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}$

Para algunos valores particulares de $z A = | z A' |$ , la mitad de las caras de dicho hedrón escaleno pueden ser isósceles o equiláteras .

Ejemplo con tres longitudes de arista diferentes:

El escalenoedro con vértices base U, U', V, V' de 2×2 -gono sesgados en zigzag de entrada y salida isotoxales y ápices simétricos a la derecha A, A'. ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=\left(0,{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A&=(0,0,7),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=\left(0,-{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A'&=(0,0,-7),\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=\left(0,{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A&=(0,0,7),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=\left(0,-{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A'&=(0,0,-7),\end{alignedat}}$ tiene caras superiores escalenas congruentes y caras inferiores equiláteras congruentes; por lo tanto, no todas sus caras son congruentes. En efecto:
- Longitudes del borde apical superior: ${\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {146}}\,;\end{aligned}}$
- Longitud del borde de la base: ${\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3{\sqrt {10}}\,;$
- Longitud(es) del borde apical inferior: ${\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=3{\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}$

bipirámides estrelladas

Una bipirámide estrellada tiene una base poligonal estrellada y es autointersecante. ^{[ 20 ]}

Una bipirámide estrellada recta regular simétrica tiene caras triangulares isósceles congruentes y es isoédrica .

Una $p / q$ -bipirámide tiene diagrama de Coxeter .

4-politopos con celdas bipiramidales

El dual de la rectificación de cada 4-politopo regular convexo es un 4-politopo transitivo celular con celdas bipiramidales. A continuación:

$A$ es el vértice superior de la bipirámide;
$E$ es un vértice del ecuador;
$EE$ es la distancia entre vértices adyacentes en el ecuador (igual a 1);
$AE$ es la longitud del borde desde el vértice hasta el ecuador;
$AA$ es la distancia entre los ápices.

El politopo bipirámide de cuatro lados tendrá vértices $V A$ donde se unen los vértices de las bipirámides $N A.$ Tendrá vértices $V E$ donde se unen los vértices de tipo $E$ de las bipirámides $N E.$

⁠ $N_{\overline {AE}}$ Las bipirámides se encuentran a lo largo de cada arista de tipo $AE$ .
⁠ $N_{\overline {EE}}$ Las bipirámides se encuentran a lo largo de cada borde de tipo $EE$ .
⁠ $C_{\overline {AE}}$ es el coseno del ángulo diedro a lo largo de una $arista AE$ .
⁠ $C_{\overline {EE}}$ es el coseno del ángulo diedro a lo largo de una $arista EE$ .

Como las celdas deben ajustarse alrededor de un borde, ${\begin{aligned}N_{\overline {EE}}\arccos C_{\overline {EE}}&\leq 2\pi ,\\[4pt]N_{\overline {AE}}\arccos C_{\overline {AE}}&\leq 2\pi .\end{aligned}}$

Otras dimensiones

Una "bipirámide" generalizada de dimensión n es cualquier $politopo$ de $dimensión n construido a partir de una base de politopo de dimensión n - 1 que se encuentra en un hiperplano, con cada vértice de la base conectado por una arista a dos vértices del ápice. Si el politopo de dimensión n$ − $1$ es un politopo $regular$ $y$ $los$ vértices son equidistantes de su $centro$ $a$ lo largo de la línea perpendicular al hiperplano de la base, tendrá facetas piramidales idénticas .

Un análogo bidimensional de una bipirámide simétrica recta se forma uniendo dos triángulos isósceles congruentes base con base para formar un rombo . De forma más general, un cometa es un análogo bidimensional de una bipirámide recta (posiblemente asimétrica), y cualquier cuadrilátero es un análogo bidimensional de una bipirámide general.

Véase también

Trapezoedro

Notas

1 2 El centro de un polígono regular es inequívoco, pero para polígonos irregulares las fuentes discrepan. Algunas fuentes solo permiten que una pirámide recta tenga un polígono regular como base. Otras definen una pirámide recta como aquella cuyos vértices están en una línea perpendicular a la base y que pasa por su centroide . Polya (1954) restringe las pirámides rectas a aquellas con un polígono tangente como base, con los vértices en una línea perpendicular a la base y que pasa por el incentro .
↑ Las bipirámides digonales geométricas más pequeñas $tienen$ ocho caras y son topológicamente idénticas al octaedro regular . En este caso ( $2n = 2\times2$ ):una bipirámide digonal isotoxal recta (simétrica) se llama bipirámide rómbica ,^{[ 13 ]}^{[ 16 ]} aunque todas sus caras son triángulos escalenos, porque su base poligonal plana es un rombo.
↑ Dado numéricamente debido a su forma más compleja.
↑ La celda rectificada de 16 celdas es la celda regular de 24 celdas y todos los vértices son equivalentes : los octaedros son bipirámides regulares.

Citas

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Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Dipirámide" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Isoedro" . MathWorld .
Los poliedros uniformes
Poliedros de realidad virtual: La enciclopedia de poliedros
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  - Notación de Conway para poliedros Pruebe: "dP n ", donde n = 3, 4, 5, 6, ... Ejemplo: "dP4" es un octaedro.

[right_pyramids-1] 1 2 El centro de un polígono regular es inequívoco, pero para polígonos irregulares las fuentes discrepan. Algunas fuentes solo permiten que una pirámide recta tenga un polígono regular como base. Otras definen una pirámide recta como aquella cuyos vértices están en una línea perpendicular a la base y que pasa por su centroide . Polya (1954) restringe las pirámides rectas a aquellas con un polígono tangente como base, con los vértices en una línea perpendicular a la base y que pasa por el incentro .

[18] Las bipirámides digonales geométricas más pequeñas $tienen$ ocho caras y son topológicamente idénticas al octaedro regular . En este caso ( $2n = 2\times2$ ):una bipirámide digonal isotoxal recta (simétrica) se llama bipirámide rómbica ,^{[ 13 ]}^{[ 16 ]} aunque todas sus caras son triángulos escalenos, porque su base poligonal plana es un rombo.

[23] Dado numéricamente debido a su forma más compleja.

[24] La celda rectificada de 16 celdas es la celda regular de 24 celdas y todos los vértices son equivalentes : los octaedros son bipirámides regulares.

[aarts-2] 1 2 Aarts, JM (2008). Geometría plana y sólida . Springer. p. 303. doi : 10.1007/978-0-387-78241-6 . ISBN 978-0-387-78241-6.

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