función cuártica

• Si${\displaystyle \Delta >0,}$el valor de${\displaystyle Q}$es un número complejo no real. En este caso, o bien todas las raíces son no reales o bien todas son reales. En este último caso, el valor de${\displaystyle S}$también es real, a pesar de estar expresado en términos de${\displaystyle Q;}$Este es el caso irreducible de la función cúbica extendido al contexto actual de la función cuártica. Se puede preferir expresarlo de forma puramente real, utilizando funciones trigonométricas , como sigue:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}}$

dónde

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).}$

• Si${\displaystyle \Delta \neq 0}$y${\displaystyle \Delta _ {0}=0,}$el signo de${\displaystyle {\sqrt {\Delta _ {1}^{2}-4\Delta _ {0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _ {1}^{2}}}}$ tiene que ser elegido para tener${\displaystyle Q\neq 0,}$eso es lo que uno debería definir${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$como${\displaystyle \Delta _{1},}$manteniendo el signo de${\displaystyle \Delta _{1}.}$
• Si${\displaystyle S=0,}$entonces uno debe cambiar la elección de la raíz cúbica en${\displaystyle Q}$para tener${\displaystyle S\neq 0.}$Esto siempre es posible, excepto si la cuártica puede ser factorizada en${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.}$El resultado es entonces correcto, pero engañoso porque oculta el hecho de que no se necesita una raíz cúbica en este caso. De hecho, este caso puede ocurrir solo si el numerador de${\displaystyle q}$es cero, en cuyo caso la cuártica deprimida asociada es bicuadrática; por lo tanto, puede resolverse mediante el método que se describe a continuación .
• Si${\displaystyle \Delta =0}$y${\displaystyle \Delta _ {0}=0,}$y por lo tanto también${\displaystyle \Delta _ {1}=0,}$Al menos tres raíces son iguales entre sí, y las raíces son funciones racionales de los coeficientes. La raíz triple${\displaystyle x_{0}}$es una raíz común de la cuártica y su segunda derivada${\displaystyle 2(6ax^{2}+3bx+c);}$Es, por tanto, también la raíz única del resto de la división euclidiana de la cuártica por su segunda derivada, que es un polinomio lineal. La raíz simple${\displaystyle x_{1}}$se puede deducir de${\displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a.}$
• Si${\displaystyle \Delta =0}$y${\displaystyle \Delta _ {0}\neq 0,}$La expresión anterior para las raíces es correcta pero engañosa, ya que oculta el hecho de que el polinomio es reducible y no se necesita ninguna raíz cúbica para representar las raíces.

Consideremos la cuártica general

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

Es reducible si Q ( x ) = R ( x )× S ( x ) , donde R ( x ) y S ( x ) son polinomios no constantes con coeficientes racionales (o, más generalmente, con coeficientes en el mismo campo que los coeficientes de Q ( x ) ). Dicha factorización tomará una de dos formas:

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})}$

o

${\displaystyle Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).}$

En cualquier caso, las raíces de Q ( x ) son las raíces de los factores, que pueden calcularse utilizando las fórmulas para las raíces de una función cuadrática o cúbica .

La detección de la existencia de tales factorizaciones se puede realizar utilizando la resolvente cúbica de Q ( x ) . Resulta que:

• si estamos trabajando sobre R (es decir, si los coeficientes están restringidos a ser números reales) (o, más generalmente, sobre algún cuerpo real cerrado ) entonces siempre existe tal factorización;
• Si estamos trabajando sobre Q (es decir, si los coeficientes están restringidos a ser números racionales), entonces hay un algoritmo para determinar si Q ( x ) es reducible o no y, si lo es, cómo expresarlo como un producto de polinomios de menor grado.

De hecho, varios métodos para resolver ecuaciones de cuarto grado ( el método de Ferrari , el método de Descartes y, en menor medida, el método de Euler ) se basan en encontrar dichas factorizaciones.

Si a ₃ = a ₁ = 0 entonces la función

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}}$

Se denomina función bicuadrática ; igualarla a cero define una ecuación bicuadrática , que es fácil de resolver de la siguiente manera:

_Sea la variable auxiliar z = x² . Entonces ^Q ( x ) se convierte en una ^función cuadrática q en z : q ( z ) = a⁴z² + a²z + _{a⁰ .} Sean z⁺ y z⁻ las raíces de q ( z ) . Entonces las raíces de la función _cuártica Q ( x ) son _:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}}$

El polinomio

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}}$

es casi palíndromo , ya que P ( mx ) = ⁠ x ⁴ / m ² ⁠ P ( ⁠ m / x ⁠ ) (es palíndromo si m = 1 ). El cambio de variables z = x + ⁠ m / x ⁠ en ⁠ P ( x ) / x ² ⁠ = 0 produce la ecuación cuadrática a ₀ z ² + a ₁ z + a ₂ − 2 ma ₀ = 0 . Dado que x ² − xz + m = 0 , la ecuación cuártica P ( x ) = 0 puede resolverse aplicando la fórmula cuadrática dos veces.

Para resolver problemas, generalmente es mejor convertir la cuártica en una cuártica reducida mediante el siguiente cambio de variable. Todas las fórmulas son más sencillas y algunos métodos solo funcionan en este caso. Las raíces de la cuártica original se obtienen fácilmente a partir de las de la cuártica reducida mediante el cambio de variable inverso.

Dejar

${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

Sea la ecuación cuártica general que queremos resolver.

Dividiendo por a ₄ , se obtiene la ecuación equivalente x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e = 0 , con b = ⁠ a ₃ / a ₄ ⁠ , c = ⁠ a ₂ / a ₄ ⁠ , d = ⁠ a ₁ / a ₄ ⁠ , y e = ⁠ a ₀ / a ₄ ⁠ . Sustituyendo y − ⁠ b / 4 ⁠ por x se obtiene, después de reagrupar los términos, la ecuación y ⁴ + py ² + qy + r = 0 , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}}$

Si y ₀ es una raíz de esta cuártica deprimida, entonces y ₀ − ⁠ b / 4 ⁠ (es decir, y ₀ − ⁠ a ₃ / 4 a ₄ ⁠ ) es una raíz de la cuártica original y cada raíz de la cuártica original se puede obtener mediante este proceso.

Como se explicó en la sección anterior, podemos comenzar con la ecuación cuártica reducida.

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}$

Esta ecuación cuártica deprimida se puede resolver mediante un método descubierto por Lodovico Ferrari . La ecuación deprimida se puede reescribir (esto se verifica fácilmente expandiendo el cuadrado y reagrupando todos los términos del lado izquierdo) como

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.}$

Luego, introducimos una variable m en el factor del lado izquierdo sumando 2 y ² m + pm + m ² a ambos lados. Después de reagrupar los coeficientes de la potencia de y en el lado derecho, esto da como resultado la ecuación

lo cual es equivalente a la ecuación original, cualquiera que sea el valor que se le dé a m .

Como el valor de m puede elegirse arbitrariamente, lo elegiremos de manera que complete el cuadrado del lado derecho. Esto implica que el discriminante en y de esta ecuación cuadrática es cero, es decir, m es una raíz de la ecuación.

${\displaystyle (-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,}$

que puede reescribirse como

Esta es la resolvente cúbica de la ecuación cuártica. El valor de m se puede obtener a partir de la fórmula de Cardano . Cuando m es una raíz de esta ecuación, el lado derecho de la ecuación ( 1 ) es el cuadrado.

${\displaystyle \left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Sin embargo, esto induce una división por cero si m = 0. Esto implica q = 0 , y por lo tanto que la ecuación reducida es bicuadrática y puede resolverse mediante un método más sencillo (véase más arriba). Esto no era un problema en la época de Ferrari, cuando solo se resolvían ecuaciones dadas explícitamente con coeficientes numéricos. Para una fórmula general que siempre es verdadera, es necesario elegir una raíz de la ecuación cúbica tal que m ≠ 0. Esto siempre es posible excepto para la ecuación reducida y ⁴ = 0 .

Ahora bien, si m es una raíz de la ecuación cúbica tal que m ≠ 0 , la ecuación ( 1 ) se convierte en:

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Esta ecuación tiene la forma M ² = N ² , que se puede reordenar como M ² − N ² = 0 o ( M + N )( M − N ) = 0 . Por lo tanto, la ecuación ( 1 ) se puede reescribir como

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.}$

Esta ecuación se resuelve fácilmente aplicando a cada factor la fórmula cuadrática . Resolviéndolas, podemos escribir las cuatro raíces como:

${\displaystyle y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},}$

donde ± ₁ y ± ₂ denotan + o − . Como las dos ocurrencias de ± ₁ deben denotar el mismo signo, esto deja cuatro posibilidades, una para cada raíz.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuártica original son

${\displaystyle x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.}$

Una comparación con la fórmula general anterior muestra que √ 2 m = 2 S .

Descartes ^{[ 14 ]} introdujo en 1637 el método de hallar las raíces de un polinomio de cuarto grado factorizándolo en dos polinomios de cuarto grado. Sea

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}}$

Igualando los coeficientes , se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.}$

Esto se puede simplificar comenzando de nuevo con la cuártica deprimida y ⁴ + py ² + qy + r , que se puede obtener sustituyendo y − b /4 por x . Como el coeficiente de y ³ es 0 , obtenemos s = − u , y: 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.}$

Ahora se pueden eliminar tanto t como v haciendo lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}}$

Si establecemos U = u ² , entonces resolver esta ecuación se convierte en encontrar las raíces de la resolvente cúbica

lo cual se hace en otro lugar . Esta cúbica resolvente es equivalente a la cúbica resolvente dada anteriormente (ecuación (1a)), como se puede ver al sustituir U = 2m.

Si u es una raíz cuadrada de una raíz no nula de esta resolvente (tal raíz no nula existe excepto para la cuártica x ⁴ , que se factoriza trivialmente),

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.}$

Las simetrías en esta solución son las siguientes: existen tres raíces cúbicas, que corresponden a las tres maneras en que una ecuación cuártica puede factorizarse en dos ecuaciones cuadráticas, y al elegir valores positivos o negativos de u para la raíz cuadrada de U, simplemente se intercambian las dos ecuaciones cuadráticas entre sí.

La solución anterior muestra que un polinomio cuártico con coeficientes racionales y un coeficiente cero en el término cúbico es factorizable en polinomios cuadráticos con coeficientes racionales si y solo si la resolvente cúbica ( 2 ) tiene una raíz no nula que es el cuadrado de un racional, o p² − 4r es el cuadrado de un racional y ^q = 0 ; esto se puede comprobar fácilmente usando la prueba de la raíz racional . ^{[ 15 ]}

Una variante del método anterior se debe a Euler . ^{[ 16 ] [ 17 ]} A diferencia de los métodos anteriores, que utilizan alguna raíz de la cúbica resolvente, el método de Euler las utiliza todas. Consideremos una cuártica deprimida x ⁴ + px ² + qx + r . Observe que, si

• x ⁴ + px ² + qx + r = ( x ² + sx + t )( x ² − sx + v ) ,
• r ₁ y r ₂ son las raíces de x ² + sx + t ,
• r ₃ y r ₄ son las raíces de x ² − sx + v ,

entonces

• Las raíces de x ⁴ + px ² + qx + r son r ₁ , r ₂ , r ₃ , y r ₄ ,
• r ₁ + r ₂ = − s ,
• r ₃ + r ₄ = s .

Por lo tanto, ( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) = − s ² . En otras palabras, −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) es una de las raíces de la resolvente cúbica ( 2 ) y esto sugiere que las raíces de esa cúbica son iguales a −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) , −( r ₁ + r ₃ )( r ₂ + r ₄ ) , y −( r ₁ + r ₄ )( r ₂ + r ₃ ) . Esto es cierto y se deduce de las fórmulas de Vieta . También se deduce de las fórmulas de Vieta, junto con el hecho de que estamos trabajando con una cuártica deprimida, que r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = 0 . (Por supuesto, esto también se deduce del hecho de que r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = − s + s .) Por lo tanto, si α , β , y γ son las raíces de la cúbica resolvente, entonces los números r ₁ , r ₂ , r ₃ , y r ₄ son tales que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.}$

Es consecuencia de las dos primeras ecuaciones que r ₁ + r ₂ es una raíz cuadrada de α y que r ₃ + r ₄ es la otra raíz cuadrada de α . Por la misma razón,

• r ₁ + r ₃ es una raíz cuadrada de β ,
• r ₂ + r ₄ es la otra raíz cuadrada de β ,
• r ₁ + r ₄ es una raíz cuadrada de γ ,
• r ₂ + r ₃ es la otra raíz cuadrada de γ .

Por lo tanto, los números r ₁ , r ₂ , r ₃ , y r ₄ son tales que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.}$

El signo de las raíces cuadradas se tratará más adelante. La única solución de este sistema es:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.}$

Dado que, en general , hay dos opciones para cada raíz cuadrada, podría parecer que esto proporciona 8 (= 2³ ⁾ opciones para el conjunto { r₁ _, r₂ _, r₃ _, r₄ _} , pero, de hecho, no proporciona más de 2 de esas opciones, porque la consecuencia de reemplazar una de las raíces cuadradas _{por la} simétrica  es que el conjunto { r₁ _, r₂ _, r₃ , r₄ } se convierte _en el conjunto { −r₁ , _−r₂ , −r₃ _{, −r₄ }} .

Para determinar el signo correcto de las raíces cuadradas, simplemente se elige una raíz cuadrada para cada uno de los números _α , β y γ y se utilizan para calcular los números r₁ _, r₂ , r₃ y _{r₄ a partir de las igualdades anteriores} . Luego, se calcula el número √α √β √γ . Dado que α , β y γ son las raíces de ( 2 ) , es consecuencia de las fórmulas de Vieta que su producto sea igual a q² y , por lo tanto, que √α √β √γ = ± q ^. Pero un cálculo directo muestra que

√ α √ β √ γ = r ₁ r ₂ r ₃ + r ₁ r ₂ r ₄ + r ₁ r ₃ r ₄ + r ₂ r ₃ r ₄ .

Si este número es − q , entonces la elección de las raíces cuadradas fue buena (de nuevo, según las fórmulas de Vieta); de lo contrario, las raíces del polinomio serán − r ₁ , − r ₂ , − r ₃ , y − r ₄ , que son los números que se obtienen si una de las raíces cuadradas se reemplaza por la simétrica (o, lo que viene a ser lo mismo, si cada una de las tres raíces cuadradas se reemplaza por la simétrica).

Este argumento sugiere otra forma de elegir las raíces cuadradas:

• escoja cualquier raíz cuadrada √ α de α y cualquier raíz cuadrada √ β de β ;
• definimos √ γ como${\displaystyle -{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}}$.

Por supuesto, esto no tendrá sentido si α o β es igual a 0 , pero 0 es una raíz de ( 2 ) solo cuando q = 0 , es decir, solo cuando estamos tratando con una ecuación bicuadrática , en cuyo caso hay un enfoque mucho más simple.

El grupo simétrico S ₄ sobre cuatro elementos tiene al grupo de Klein de cuatro elementos como un subgrupo normal . Esto sugiere el uso de unResolvente cúbica cuyas raíces pueden describirse de diversas maneras como unatransformada discreta de Fouriero unamatricial de Hadamardde las raíces; véaseResolventes de Lagrangepara el método general. Denotemos por x _i , para i de0a3, las cuatro raíces de x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e . Si establecemos  

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}}$

Entonces, dado que la transformación es una involución , podemos expresar las raíces en términos de los cuatro s _i exactamente de la misma manera. Como conocemos el valor s ₀ = − ⁠ b / 2 ⁠ , solo necesitamos los valores de s ₁ , s ₂ y s ₃ . Estas son las raíces del polinomio.

${\displaystyle (s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).}$

Sustituyendo los s _i por sus valores en términos de los x _i , este polinomio puede expandirse en un polinomio en s cuyos coeficientes son polinomios simétricos en los x _i . Por el teorema fundamental de los polinomios simétricos , estos coeficientes pueden expresarse como polinomios en los coeficientes del cuártico mónico. Si, para simplificar, suponemos que el cuártico está deprimido, es decir, b = 0 , esto resulta en el polinomio

Este polinomio es de grado seis, pero solo de grado tres en s² , por lo que la ecuación correspondiente se puede resolver mediante el método descrito en el artículo sobre ^la _función cúbica . Sustituyendo las raíces en la expresión de xᵢ en términos de _sᵢ , obtenemos expresiones para las raíces. De hecho , obtenemos, aparentemente, varias expresiones, dependiendo de la numeración de las raíces del polinomio cúbico y de los signos dados a sus raíces cuadradas . Todas estas expresiones diferentes se pueden deducir de una de ellas simplemente cambiando la numeración de xᵢ _.

Estas expresiones son innecesariamente complicadas, ya que involucran raíces cúbicas de la unidad , lo cual se puede evitar de la siguiente manera. Si s es cualquier raíz no nula de ( 3 ), y si establecemos

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}$

Por lo tanto, podemos resolver la ecuación de cuarto grado resolviendo para s y luego resolviendo para las raíces de los dos factores usando la fórmula cuadrática .

Esto da exactamente la misma fórmula para las raíces que la proporcionada por el método de Descartes .

Hay una solución alternativa que utiliza geometría algebraica ^{[ 18 ].} En resumen, se interpretan las raíces como la intersección de dos curvas cuadráticas, luego se encuentran las tres curvas cuadráticas reducibles (pares de líneas) que pasan por estos puntos (esto corresponde a la cúbica resolvente, siendo los pares de líneas las resolventes de Lagrange), y luego se utilizan estas ecuaciones lineales para resolver la cuadrática.

Las cuatro raíces de la ecuación cuártica deprimida x ⁴ + px ² + qx + r = 0 también pueden expresarse como las coordenadas x de las intersecciones de las dos ecuaciones cuadráticas y ² + py + qx + r = 0 e y − x ² = 0 , es decir, usando la sustitución y = x ² que dos ecuaciones cuadráticas se intersecan en cuatro puntos es un ejemplo del teorema de Bézout . Explícitamente, los cuatro puntos son P _i ≔ ( x _i , x _i ² ) para las cuatro raíces x _i de la ecuación cuártica.

Estos cuatro puntos no son colineales porque se encuentran sobre la cuadrática irreducible y = x² y, por lo tanto ^, existe una familia de cuadráticas de un parámetro (un haz de curvas ) que pasa por estos puntos. Escribiendo la proyectividad de las dos cuadráticas como formas cuadráticas en tres variables:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}}$

El lápiz viene dado por las formas λF ₁ + μF ₂ para cualquier punto [ λ , μ ] en la línea proyectiva ; en otras palabras, donde λ y μ no son ambos cero, y multiplicar una forma cuadrática por una constante no cambia su curva cuadrática de ceros.

Este lápiz contiene tres ecuaciones cuadráticas reducibles, cada una correspondiente a un par de líneas, cada una pasando por dos de los cuatro puntos, lo cual se puede hacer${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$ = 6 maneras diferentes. Denotemos estas como Q ₁ = L ₁₂ + L ₃₄ , Q ₂ = L ₁₃ + L ₂₄ , y Q ₃ = L ₁₄ + L ₂₃ . Dados dos cualesquiera de estos, su intersección tiene exactamente los cuatro puntos. 

Los cuadráticos reducibles, a su vez, pueden determinarse expresando la forma cuadrática λF ₁ + μF ₂ como una matriz de 3×3  : los cuadráticos reducibles corresponden a que esta matriz sea singular, lo que es equivalente a que su determinante sea cero, y el determinante es un polinomio homogéneo de tercer grado en λ y μ y corresponde a la resolvente cúbica.