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Geometría birracional

El círculo es birracionalmente equivalente a la línea . Una representación birracional entre ellos es la proyección estereográfica , que se muestra aquí. En matemáticas , la geo...

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El círculo es birracionalmente equivalente a la línea . Una representación birracional entre ellos es la proyección estereográfica , que se muestra aquí.

En matemáticas , la geometría birracional es un campo de la geometría algebraica cuyo objetivo es determinar cuándo dos variedades algebraicas son isomorfas fuera de subconjuntos de menor dimensión. Esto equivale a estudiar aplicaciones dadas por funciones racionales en lugar de polinomios ; la aplicación puede no estar definida donde las funciones racionales tienen polos.

Mapas birracionales

Mapas racionales

Un mapa racional de una variedad (entendido como irreductible )incógnita{\displaystyle X}a otra variedadY{\displaystyle Y}, escrito como una flecha discontinua X ⇢ Y , se define como un morfismo de un subconjunto abierto no vacío.U⊂incógnita{\displaystyle U\subset X}aY{\displaystyle Y}Por definición de la topología de Zariski utilizada en geometría algebraica, un subconjunto abierto no vacíoU{\displaystyle U}siempre es denso enincógnita{\displaystyle X}De hecho, es el complemento de un subconjunto de menor dimensión. Concretamente, una aplicación racional puede escribirse en coordenadas utilizando funciones racionales.

Mapas birracionales

Una aplicación birracional de X a Y es una aplicación racional f  : X ⇢ Y tal que existe una aplicación racional Y ⇢ X inversa a f . Una aplicación birracional induce un isomorfismo de un subconjunto abierto no vacío de X a un subconjunto abierto no vacío de Y , y viceversa: un isomorfismo entre subconjuntos abiertos no vacíos de X , Y por definición da una aplicación birracional f  : X ⇢ Y . En este caso, se dice que X e Y son birracionales o birracionalmente equivalentes . En términos algebraicos, dos variedades sobre un cuerpo k son birracionales si y solo si sus cuerpos de funciones son isomorfos como cuerpos de extensión de k .

Un caso especial es un morfismo birracional f  : X → Y , es decir, un morfismo que es birracional. Esto significa que f está definido en todas partes, pero su inverso puede no estarlo. Normalmente, esto ocurre porque un morfismo birracional contrae algunas subvariedades de X a puntos en Y.

Equivalencia birracional y racionalidad

Se dice que una variedad X es racional si es birracional respecto del espacio afín (o, equivalentemente, del espacio proyectivo ) de alguna dimensión. La racionalidad es una propiedad muy natural: significa que X menos algún subconjunto de menor dimensión puede identificarse con el espacio afín menos algún subconjunto de menor dimensión.

Equivalencia birracional de una cónica plana

Por ejemplo, el círculoincógnita{\displaystyle X}con ecuaciónincógnita2+y2−1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}en el plano afín es una curva racional, porque existe una aplicación racional f  :A1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}⇢ X dado por

F(t)=(2t1+t2,1−t21+t2),{\displaystyle f(t)=\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),}

que tiene una inversa racional g : X ⇢A1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}dado por

gramo(incógnita,y)=1−yincógnita.{\displaystyle g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.}

La aplicación del mapa f con t un número racional da como resultado una construcción sistemática de ternas pitagóricas .

El mapa racionalF{\displaystyle f}no está definido en el locus donde1+t2=0{\displaystyle 1+t^{2}=0}. Entonces, en la línea afín complejaAdo1{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}},F{\displaystyle f}es un morfismo en el subconjunto abiertoU=Ado1−{i,−i}{\displaystyle U=\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i,-i\}},F:U→incógnita{\displaystyle f:U\to X}. Asimismo, la aplicación racional g  : X ⇢A1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}no está definido en el punto (0,−1) enincógnita{\displaystyle X}.

Equivalencia birracional de cuádricas suaves y P n

De forma más general, una hipersuperficie cuádrica suave (grado 2) X de cualquier dimensión n es racional, por proyección estereográfica . (Para X una cuádrica sobre un cuerpo k , se debe suponer que X tiene un punto k -racional ; esto es automático si k es algebraicamente cerrado). Para definir la proyección estereográfica, sea p un punto en X. Entonces, una aplicación birracional de X al espacio proyectivoPAGnorte{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}La relación de rectas que pasan por p se obtiene enviando un punto q en X a la recta que pasa por p y q . Esta es una equivalencia birracional, pero no un isomorfismo de variedades, porque no se define donde q = p (y la aplicación inversa no se define en aquellas rectas que pasan por p y que están contenidas en X ).

Equivalencia birracional de superficie cuádrica

La incrustación de Segre proporciona una incrustaciónPAG1×PAG1→PAG3{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}}dado por

([incógnita,y],[z,w])↦[incógnitaz,incógnitaw,yz,yw].{\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}

La imagen es la superficie cuádricaincógnita0incógnita3=incógnita1incógnita2{\displaystyle x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}}enPAG3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}. Eso da otra prueba de que esta superficie cuádrica es racional, ya quePAG1×PAG1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}es obviamente racional, al tener un subconjunto abierto isomorfo aA2{\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}.

Modelos mínimos y resolución de singularidades

Toda variedad algebraica es birracional a una variedad proyectiva ( lema de Chow ). Por lo tanto, para la clasificación birracional, basta con trabajar únicamente con variedades proyectivas, y este suele ser el enfoque más conveniente.

Mucho más profundo es el teorema de Hironaka de 1964 sobre la resolución de singularidades : sobre un cuerpo de característica 0 (como los números complejos), toda variedad es birracional a una variedad proyectiva lisa . Dado esto, basta con clasificar las variedades proyectivas lisas salvo equivalencia birracional.

En dimensión 1, si dos curvas proyectivas suaves son birracionales, entonces son isomorfas. Pero esto no se cumple en dimensión al menos 2, debido a la construcción de explosión . Al explotar, toda variedad proyectiva suave de dimensión al menos 2 es birracional a infinitas variedades "más grandes", por ejemplo, con números de Betti mayores .

Esto nos lleva a la idea de los modelos mínimos : ¿existe una única variedad más simple en cada clase de equivalencia birracional? La definición moderna establece que una variedad proyectiva X es mínima si el fibrado lineal canónico K X tiene grado no negativo en cada curva de X ; en otras palabras, K X es nef . Es fácil comprobar que las variedades expandidas nunca son mínimas.

Esta noción funciona perfectamente para superficies algebraicas (variedades de dimensión 2). En términos modernos, un resultado central de la escuela italiana de geometría algebraica de 1890-1910, parte de la clasificación de superficies , es que toda superficie X es birracional a un productoPAG1×do{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times C}para alguna curva C o a una superficie mínima Y. [ 1 ] Los dos casos son mutuamente excluyentes, y Y es única si existe. Cuando Y existe, se le llama el modelo mínimo de X. 

Invariantes birracionales

En un principio, no está claro cómo demostrar que existen variedades algebraicas no racionales. Para probar esto, se necesitan invariantes birracionales de variedades algebraicas. Un invariante birracional es cualquier tipo de número, anillo, etc., que es el mismo, o isomorfo, para todas las variedades birracionales equivalentes.

Plurigenera

Un conjunto útil de invariantes birracionales son los plurigéneros . El fibrado canónico de una variedad lisa X de dimensión n significa el fibrado de líneas de n- formas K X = Ω n , que es la n -ésima potencia exterior del fibrado cotangente de X . Para un entero d , la d -ésima potencia tensorial de K X es de nuevo un fibrado de líneas. Para d ≥ 0 , el espacio vectorial de secciones globales H 0 ( X , K X d ) tiene la notable propiedad de que una aplicación birracional f  : X ⇢ Y entre variedades proyectivas lisas induce un isomorfismo H 0 ( X , K X d ) ≅ H 0 ( Y , K Y d ) . [ 2 ]

Para d ≥ 0 , definimos el d -ésimo plurigénero P d como la dimensión del espacio vectorial H 0 ( X , K X d ) ; entonces los plurigéneros son invariantes birracionales para variedades proyectivas suaves. En particular, si algún plurigénero P d con d > 0 no es cero, entonces X no es racional.

Dimensión de Kodaira

Un invariante birracional fundamental es la dimensión de Kodaira , que mide el crecimiento de los plurigéneros P d cuando d tiende a infinito. La dimensión de Kodaira divide todas las variedades de dimensión n en n + 2 tipos, con dimensión de Kodaira −∞, 0, 1, ..., o n . Esta es una medida de la complejidad de una variedad, con espacio proyectivo que tiene dimensión de Kodaira −∞. Las variedades más complicadas son aquellas con dimensión de Kodaira igual a su dimensión n , llamadas variedades de tipo general .

Sumandos de ⊗ k Ω 1 y algunos números de Hodge

De manera más general, para cualquier suma natural

mi(Ω1)=⨂kΩ1{\displaystyle E(\Omega ^{1})=\bigotimes ^{k}\Omega ^{1}}

de la r -ésima potencia tensorial del fibrado cotangente Ω 1 con r ≥ 0 , el espacio vectorial de secciones globales H 0 ( X , E (Ω 1 )) es un invariante birracional para variedades proyectivas suaves. En particular, los números de Hodge

hpag,0=H0(incógnita,Ωpag){\displaystyle h^{p,0}=H^{0}(X,\Omega ^{p})}

son invariantes birracionales de X. (La mayoría de los demás números de Hodge h p , q no son invariantes birracionales, como se demuestra al explotar).

Grupo fundamental de variedades proyectivas suaves

El grupo fundamental π 1 ( X ) es un invariante birracional para variedades proyectivas complejas suaves.

El teorema de factorización débil, demostrado por Abramovich, Karu, Matsuki y Włodarczyk (2002) , establece que cualquier aplicación birracional entre dos variedades proyectivas complejas lisas puede descomponerse en un número finito de explosiones o reducciones de subvariedades lisas. Si bien esto es importante, aún puede resultar muy difícil determinar si dos variedades proyectivas lisas son birracionales.

Modelos mínimos en dimensiones superiores

Una variedad proyectiva X se denomina mínima si el fibrado canónico K X es nef . Para X de dimensión 2, basta con considerar variedades lisas en esta definición. En dimensiones de al menos 3, las variedades mínimas deben poder tener ciertas singularidades leves, para las cuales K X sigue siendo bien comportada; estas se denominan singularidades terminales .

Dicho esto, la conjetura del modelo mínimo implicaría que toda variedad X está cubierta por curvas racionales o es birracional a una variedad mínima Y. Cuando existe, Y se denomina modelo mínimo de X.

Los modelos mínimos no son únicos en dimensiones de al menos 3, pero dos variedades mínimas cualesquiera que sean birracionales están muy cerca. Por ejemplo, son isomorfas fuera de subconjuntos de codimensión de al menos 2, y más precisamente, están relacionadas por una secuencia de flops . Por lo tanto, la conjetura del modelo mínimo proporcionaría información valiosa sobre la clasificación birracional de las variedades algebraicas.

La conjetura fue demostrada en dimensión 3 por Mori. [ 3 ] Se ha avanzado mucho en dimensiones superiores, aunque el problema general sigue abierto. En particular, Birkar, Cascini, Hacon y McKernan (2010) [ 4 ] demostraron que toda variedad de tipo general sobre un cuerpo de característica cero tiene un modelo mínimo.

Variedades no regladas

Una variedad se denomina unipolar si está cubierta por curvas racionales. Una variedad unipolar no tiene un modelo mínimo, pero existe un buen sustituto: Birkar, Cascini, Hacon y McKernan demostraron que toda variedad unipolar sobre un cuerpo de característica cero es birracional a un espacio fibrado de Fano . [ a ] Esto conduce al problema de la clasificación birracional de los espacios fibrados de Fano y (como el caso especial más interesante) de las variedades de Fano . Por definición, una variedad proyectiva X es de Fano si el fibrado anticanónico esKincógnita∗{\displaystyle K_{X}^{*}}es amplio . Las variedades de Fano pueden considerarse las variedades algebraicas que son más similares al espacio proyectivo.

En dimensión 2, toda variedad de Fano (conocida como superficie de Del Pezzo ) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es racional. Un descubrimiento importante en la década de 1970 fue que, a partir de la dimensión 3, existen muchas variedades de Fano que no son racionales . En particular, las variedades cúbicas lisas de dimensión 3 no son racionales según Clemens-Griffiths (1972) , y las variedades cuárticas lisas de dimensión 3 no son racionales según Iskovskikh-Manin (1971) . Sin embargo, el problema de determinar exactamente qué variedades de Fano son racionales está lejos de estar resuelto. Por ejemplo, se desconoce si existe alguna hipersuperficie cúbica lisa enPAGnorte+1{\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}con n ≥ 4, lo cual no es racional.

Grupos de automorfismo birracional

Las variedades algebraicas difieren ampliamente en la cantidad de automorfismos birracionales que poseen. Toda variedad de tipo general es extremadamente rígida, en el sentido de que su grupo de automorfismos birracionales es finito. En el otro extremo, el grupo de automorfismos birracionales del espacio proyectivoPAGnorte{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}sobre un campo k , conocido como el grupo de Cremona Cr n ( k ), es grande (en cierto sentido, de dimensión infinita) para n ≥ 2 . Para n = 2 , el grupo de Cremona complejodor2(do){\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {C} )}se genera mediante la "transformación cuadrática"

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

junto con el grupoPAGGRAMOL(3,do){\displaystyle PGL(3,\mathbb {C} )}de automorfismos dePAG2,{\displaystyle \mathbb {P} ^{2},}por Max Noether y Castelnuovo . Por el contrario, el grupo de Cremona en dimensiones n ≥ 3 es un gran misterio: no se conoce ningún conjunto explícito de generadores.

Iskovskikh-Manin (1971) demostró que el grupo de automorfismos birracionales de una variedad cuártica tridimensional lisa es igual a su grupo de automorfismos, que es finito. En este sentido, las variedades cuárticas tridimensionales distan mucho de ser racionales, puesto que el grupo de automorfismos birracionales de una variedad racional es enorme. Este fenómeno de "rigidez birracional" se ha descubierto posteriormente en muchos otros espacios fibrados de Fano.

Aplicaciones

La geometría birracional ha encontrado aplicaciones en otras áreas de la geometría, pero especialmente en problemas tradicionales de la geometría algebraica.

El programa de modelo mínimo fue utilizado, de manera notoria, para construir espacios de módulos de variedades de tipo general por János Kollár y Nicholas Shepherd-Barron , ahora conocidos como espacios de módulos KSB. [ 5 ]

La geometría birracional ha encontrado recientemente aplicaciones importantes en el estudio de la K-estabilidad de las variedades de Fano a través de resultados generales de existencia para métricas de Kähler-Einstein , en el desarrollo de invariantes explícitos de variedades de Fano para probar la K-estabilidad mediante cálculos en modelos birracionales, y en la construcción de espacios de módulos de variedades de Fano. [ 6 ] Resultados importantes en geometría birracional, como la demostración de Birkar de la acotación de las variedades de Fano, se han utilizado para demostrar resultados de existencia para espacios de módulos.

Véase también

Citas

Notas

  1. ↑ Birkar et al. (2010 , Corolario 1.3.3) implica que toda variedad unipolar en característica cero es birracional a un espacio fibrado de Fano, utilizando el resultado más sencillo de que una variedad unipolar X está cubierta por una familia de curvas en las que K X tiene grado negativo. Una referencia para este último hecho es Debarre (2001 , Corolario 4.11) y Ejemplo 4.7(1).

Referencias

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