Teorema de Birch

En matemáticas , el teorema de Birch , ^{[ 1 ]} llamado así por Bryan John Birch , es una afirmación sobre la representabilidad del cero mediante formas de grado impar.

Sea K un cuerpo numérico algebraico , k , l y n números naturales , r₁ _,  ..., rₖ _números naturales impares, y f₁ _, ..., fₖ polinomios homogéneos con coeficientes en K de grados r₁ _, ..., rₖ _{respectivamente} en n variables . Entonces existe un número ψ ( r₁ , ... , _rₖ , l _, K ) _tal que si         

${\displaystyle n\geq \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)}$

entonces existe un subespacio vectorial V de dimensión l de K n ^tal que

${\displaystyle f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0{\text{ para todo }}x\in V.}$

La demostración del teorema se realiza por inducción sobre el grado máximo de las formas f ₁ ,  ..., f _k . Esencial para la demostración es un caso especial, que puede probarse mediante una aplicación del método del círculo de Hardy-Littlewood , del teorema que establece que si n es suficientemente grande y r es impar, entonces la ecuación 

${\displaystyle c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\ldots ,n}$

tiene una solución en enteros x ₁ ,  ..., x _n , no todos los cuales son 0.  

La restricción a r impar es necesaria, ya que las formas de grado par, como las formas cuadráticas definidas positivas , solo pueden tomar el valor 0 en el origen.