Los axiomas de Birkhoff

En 1932, G. D. Birkhoff formuló cuatro postulados de la geometría euclidiana en el plano, a veces denominados axiomas de Birkhoff . ^{[ 1 ]} Estos postulados se basan en la geometría básica , la cual puede verificarse experimentalmente con una regla y un transportador . Dado que los postulados se fundamentan en los números reales , el enfoque es similar a una introducción a la geometría euclidiana basada en modelos .

El sistema axiomático de Birkhoff se utilizó en el libro de texto de secundaria de Birkhoff y Beatley. ^{[ 2 ]} Estos axiomas también fueron modificados por el School Mathematics Study Group para proporcionar un nuevo estándar para la enseñanza de la geometría en la escuela secundaria, conocido como axiomas SMSG . Algunos otros libros de texto sobre los fundamentos de la geometría utilizan variantes de los axiomas de Birkhoff. ^{[ 3 ]}

Los cuatro postulados de Birkhoff

La distancia entre dos puntos $A$ y $B$ se denota por $d$ $($ $A,$ $B$ $)$ , y el ángulo formado por tres puntos $A$ $,$ $B$ $,$ $C$ se denota por $∠$ $ABC$ .

Postulado I: Postulado de la medida de la línea . El conjunto de puntos ${A, B, ...}$ en cualquier línea se puede poner en una correspondencia 1:1 con los números reales ${a, b, ...}$ de modo que $| b - a | = d (A, B)$ para todos los puntos $A$ y $B$ .

Postulado II: Postulado punto-línea . Hay una y solo una línea ℓ $que$ contiene dos puntos distintos cualesquiera dados $P$ y $Q.$

Postulado III: Postulado de la medida de ángulos $.$ El conjunto de rayos ${ℓ, m, n, ...}$ que pasan por cualquier punto $O$ se puede poner en correspondencia 1:1 con los números reales $a (mod 2π )$ de modo que si $A$ y $B$ son puntos (distintos de $O$ ) de $ℓ$ y $m$ , respectivamente, la diferencia $a m - a ℓ (mod 2π)$ de los números asociados a las rectas $ℓ$ y $m$ es $∠ AOB$ . Además, si el punto $B$ en $m$ varía continuamente en una recta $r$ que no contiene el vértice $O$ , el número $a m$ también varía continuamente.

Postulado IV: Postulado de semejanza . Dados dos triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ y alguna constante $k > 0$ tal que $d (A', B') = kd (A, B), d (A', C') = kd (A, C)$ y $∠ B'A'C' = \pm∠ BAC$ , entonces $d (B', C') = kd (B, C), ∠ C'B'A' = \pm∠ CBA$ , y $∠ A'C'B' = \pm∠ ACB$ .

Véase también

Referencias

↑ Birkhoff, George David (1932), "Un conjunto de postulados para la geometría plana (basados en escala y transportadores)", Annals of Mathematics , 33 (2): 329–345 , doi : 10.2307/1968336 , hdl : 10338.dmlcz/147209 , JSTOR 1968336
↑ Birkhoff, George David ; Beatley, Ralph (2000) [primera edición, 1940], Geometría básica (3.ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
↑ Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), El plano hiperbólico no euclidiano: su estructura y consistencia , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9

[1] Birkhoff, George David (1932), "Un conjunto de postulados para la geometría plana (basados en escala y transportadores)", Annals of Mathematics , 33 (2): 329–345 , doi : 10.2307/1968336 , hdl : 10338.dmlcz/147209 , JSTOR 1968336

[2] Birkhoff, George David ; Beatley, Ralph (2000) [primera edición, 1940], Geometría básica (3.ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5

[3] Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), El plano hiperbólico no euclidiano: su estructura y consistencia , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9

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