Factorización de Birkhoff

En matemáticas, la factorización de Birkhoff o descomposición de Birkhoff , introducida por George David Birkhoff  ( 1909 ), es una generalización de la descomposición LU (es decir, eliminación de Gauss) a grupos de lazos.

La factorización de una matriz invertible con coeficientes que son polinomios de Laurent en viene dada por un producto , donde tiene entradas que son polinomios en , es diagonal con para y , y tiene entradas que son polinomios en . Para una matriz genérica tenemos . ${\displaystyle M\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} [z,z^{-1}])}$${\displaystyle z}$${\displaystyle M=M^{+}M^{0}M^{-}}$${\displaystyle M^{+}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle M^{0}=\mathrm {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},...,z^{k_{n}})}$${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle k_{1}\geq k_{2}\geq ...\geq k_{n}}$${\displaystyle M^{-}}$${\displaystyle z^{-1}}$${\displaystyle M^{0}=\mathrm {id} }$

La factorización de Birkhoff implica el teorema de Birkhoff-Grothendieck de Grothendieck (1957) que establece que los haces vectoriales sobre la línea proyectiva son sumas de haces de líneas .

Existen varias variantes en las que el grupo lineal general se reemplaza por algún otro grupo algebraico reductivo, debido a Alexander Grothendieck  ( 1957 ). La factorización de Birkhoff se deriva de la descomposición de Bruhat para grupos de Kac-Moody afines (o grupos de lazos ), y, a la inversa, la descomposición de Bruhat para el grupo lineal general afín se deriva de la factorización de Birkhoff junto con la descomposición de Bruhat para el grupo lineal general ordinario.

Existe un algoritmo eficaz para calcular la factorización de Birkhoff. El siguiente procedimiento se basa en el libro de Clancey-Gohberg, ^{[ 1 ]} donde también se puede encontrar un caso más general.

Nótese que, según la fórmula de la matriz de cofactores , que una matriz sea invertible es equivalente a que el determinante sea una unidad en el anillo base. En nuestro caso, esto significa que para algunos , ya que estos son los únicos elementos invertibles en el anillo de polinomios de Laurent , y y son simplemente constantes no nulas en , porque estas son las únicas unidades en o . Esto significa que y, en particular, . Esto nos ayudará a determinar cuándo termina el algoritmo. ${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {det} M}$${\displaystyle \operatorname {det} M=c\cdot z^{d}}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,d\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} [z,z^{-1}]}$${\displaystyle \operatorname {det} M^{+}}$${\displaystyle \operatorname {det} M^{-}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} [z]}$${\displaystyle \mathbb {C} [z^{-1}]}$${\displaystyle \operatorname {det} M^{0}=z^{d}}$${\displaystyle d=k_{1}+\cdots k_{n}}$

Primer paso: Reemplazar por para cancelar cualquier denominador, es decir, de modo que esté definido sobre . Sea el exponente en , observe que ahora es no negativo. ${\displaystyle M}$${\displaystyle z^{m}M}$${\displaystyle z^{m}M}$${\displaystyle \mathbb {C} [z]}$${\displaystyle d=\operatorname {ord} _{z}\operatorname {det} z^{m}M}$${\displaystyle z}$

Segundo paso: Permutar las filas y factorizar la mayor potencia posible de en cada fila, manteniéndose sobre . La permutación debe asegurar que las mayores potencias de sean decrecientes. Denotemos la matriz de permutación y la matriz diagonal de las potencias, respectivamente. ${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {C} [z]}$${\displaystyle z}$${\displaystyle P,D}$

${\displaystyle M'=D^{-1}\cdot P\cdot M}$

Tercer paso: Si la suma de las potencias del paso 2 es igual a , hemos terminado. De lo contrario, realizamos operaciones de fila sin pivotar de manera que al menos una fila se convierta en cero módulo . Volvemos a colocar las potencias factorizadas en nuestra matriz y regresamos al paso 2. ${\displaystyle d}$${\displaystyle z}$

Al prohibir el pivoteo, estamos pidiendo que la matriz que codifica las operaciones de fila sea triangular inferior. ${\displaystyle E\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

La matriz que se devolverá al paso 2 es:

${\displaystyle M''=D\cdot E\cdot M'}$

Nótese que mientras el determinante de la matriz no sea constante, el determinante es cero módulo , por lo tanto, las filas son linealmente dependientes módulo . Por consiguiente, este paso puede llevarse a cabo. ${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

Conclusión: Una vez que el paso 2 contiene potencias suficientemente altas, podemos establecer , ya que esto tendrá determinante unitario por multiplicatividad. En cada iteración, el efecto de nuestro algoritmo fue la multiplicación por . Dado que las potencias en son descendentes y es triangular inferior, encontramos que contiene solo potencias negativas de . Además, por la multiplicatividad del determinante nuevamente, encontramos que . Por lo tanto, podemos tomar el producto de estas matrices obtenidas de todas las iteraciones y establecer como su inversa. ${\displaystyle D}$${\displaystyle M^{+}=M'}$${\displaystyle D\cdot E\cdot D^{-1}\cdot P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle D\cdot E\cdot D^{-1}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \operatorname {det} (D\cdot E\cdot D^{-1}\cdot P)=\pm \operatorname {det} E\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle M^{-}}$

Finalmente, recordando el paso 1, ahora hemos descompuesto . Dividiendo a través de y estableciendo obtenemos el resultado. ${\displaystyle z^{m}M=M^{-}\cdot D\cdot M^{+}}$${\displaystyle z^{m}}$${\displaystyle M^{0}=D\cdot z^{-m}}$

Ejemplo: Consideremos . El determinante es 1. El primer paso se realiza reemplazando por , cuyo determinante es y por lo tanto . ${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}1+z&z^{-1}+2\\z&2\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle zM}$${\displaystyle z^{2}}$${\displaystyle d=2}$

El segundo paso es . El tercer paso da . ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z+z^{2}&1+2z\\z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\z+z^{2}&1+2z\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z&2\\z+z^{2}&1+2z\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\1/2&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\z/2+z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)}$

Al devolver las potencias factorizadas, queremos repetir el paso 2 en la matriz . Aquí, podemos factorizar como , cumpliendo nuestro objetivo de . Compilando todas estas operaciones: ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z^{2}&2z\\z/2+z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}z&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\z/2+z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z&0\\0&z\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle d=2}$

${\displaystyle zM={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1/2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z^{-1}&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&0\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z^{-1}/2&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&0\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{pmatrix}}.}$

Por lo tanto, dividiendo por , . ${\displaystyle z}$${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}z^{-1}/2&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{smallmatrix}}\right)}$

• Descomposición de Birkhoff (desambiguación)
• problema de Riemann-Hilbert

• Birkhoff, George David (1909), "Puntos singulares de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias", Transactions of the American Mathematical Society , 10 (4): 436– 470, doi : 10.2307/1988594 , ISSN  0002-9947 , JFM  40.0352.02 , JSTOR  1988594
• Clancey, K.; Gohberg, I. (1981), Factorización de funciones matriciales y operadores integrales singulares , Springer, doi : 10.1007/978-3-0348-5492-4 , ISBN 978-3-0348-5494-8
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur la Classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann", American Journal of Mathematics , 79 (1): 121– 138, doi : 10.2307/2372388 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2372388 , SEÑOR  0087176
• Khimshiashvili, G. (2001) [1994], "Factorización de Birkhoff" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Loop groups , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853535-5, MR  0900587