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proceso de nacimiento y muerte

El proceso de nacimiento-muerte (o proceso de nacimiento y muerte ) es un caso especial de proceso de Markov de tiempo continuo donde las transiciones de estado son de solo dos ...

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El proceso de nacimiento-muerte (o proceso de nacimiento y muerte ) es un caso especial de proceso de Markov de tiempo continuo donde las transiciones de estado son de solo dos tipos: "nacimientos", que aumentan la variable de estado en uno, y "muertes", que la disminuyen en uno. Fue introducido por William Feller . [ 1 ] El nombre del modelo proviene de una aplicación común: el uso de dichos modelos para representar el tamaño actual de una población donde las transiciones son nacimientos y muertes literales. Los procesos de nacimiento-muerte tienen muchas aplicaciones en demografía , teoría de colas , ingeniería del rendimiento , epidemiología , biología y otras áreas. Se pueden usar, por ejemplo, para estudiar la evolución de las bacterias , el número de personas con una enfermedad dentro de una población o el número de clientes en la fila del supermercado.

Definición

Cuando ocurre un nacimiento, el proceso pasa del estado n al estado n  +  1. Cuando ocurre una muerte, el proceso pasa del estado n al estado n − 1. El proceso se especifica mediante tasas de natalidad positivas.   {λi}i=0…∞{\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }}y tasas de mortalidad positivas{μi}i=1…∞{\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }}. El número de individuos en el proceso en ese momentot{\displaystyle t}se denota porincógnita(t){\displaystyle X(t)}. El proceso tiene la propiedad de Markov yPAGi,j(t)=PAG{incógnita(t+s)=j|incógnita(s)=i}{\displaystyle P_{i,j}(t)={\mathsf {P}}\{X(t+s)=j|X(s)=i\}}describe cómoincógnita(t){\displaystyle X(t)}cambios a través del tiempo. Para pequeñosΔt>0{\displaystyle \Delta t>0}, la funciónPAGi,j(Δt){\displaystyle P_{i,j}(\Delta t)}Se supone que cumple las siguientes propiedades:

PAGi,i+1(Δt)=λiΔt+o(Δt),i≥0,{\displaystyle P_{i,i+1}(\Delta t)=\lambda _{i}\Delta t+o(\Delta t),\quad i\geq 0,}
PAGi,i−1(Δt)=μiΔt+o(Δt),i≥1,{\displaystyle P_{i,i-1}(\Delta t)=\mu _{i}\Delta t+o(\Delta t),\quad i\geq 1,}
PAGi,i(Δt)=1−(λi+μi)Δt+o(Δt),i≥1.{\displaystyle P_{i,i}(\Delta t)=1-(\lambda _{i}+\mu _{i})\Delta t+o(\Delta t),\quad i\geq 1.}

Este proceso se representa en la siguiente figura, donde los círculos representan los estados del proceso (es decir, el número de individuos en la población) y las flechas indican las transiciones entre estados.

Diagrama de estados de un proceso de nacimiento y muerte

Recurrencia y transitoriedad

Para obtener información sobre recurrencia y transitoriedad en procesos de Markov, consulte la Sección 5.3 de Cadena de Markov .

Condiciones para la recurrencia y la transitoriedad

Samuel Karlin y James McGregor establecieron las condiciones para la recurrencia y la transitoriedad . [ 2 ]

Un proceso de nacimiento y muerte es recurrente si y solo si
∑i=1∞∏norte=1iμnorteλnorte=∞.{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty .}
Un proceso de nacimiento y muerte es ergódico si y solo si
∑i=1∞∏norte=1iμnorteλnorte=∞y∑i=1∞∏norte=1iλnorte−1μnorte<∞.{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{y}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}<\infty .}
Un proceso de nacimiento y muerte es recurrente nulo si y solo si
∑i=1∞∏norte=1iμnorteλnorte=∞y∑i=1∞∏norte=1iλnorte−1μnorte=∞.{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{y}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}=\infty .}

Al utilizar la prueba de Bertrand extendida , las condiciones de recurrencia, transitoriedad, ergodicidad y recurrencia nula pueden derivarse de una forma más explícita. [ 3 ]

Para enteroK≥1,{\displaystyle K\geq 1,}dejarln(K)⁡(incógnita){\displaystyle \ln _{(K)}(x)}denotan elK{\displaystyle K}la t-ésima iteración del logaritmo natural , es decirln(1)⁡(incógnita)=ln⁡(incógnita){\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}y para cualquier2≤k≤K{\displaystyle 2\leq k\leq K}, ln(k)⁡(incógnita)=ln(k−1)⁡(ln⁡(incógnita)){\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}.

Entonces, las condiciones para la recurrencia y la transitoriedad de un proceso de nacimiento y muerte son las siguientes.

El proceso de nacimiento y muerte es transitorio si existendo>1,{\displaystyle c>1,}K≥1{\displaystyle K\geq 1}ynorte0{\displaystyle n_{0}}de tal manera que para todosnorte>norte0{\displaystyle n>n_{0}}
λnorteμnorte≥1+1norte+1norte∑k=1K−11∏j=1kln(j)⁡(norte)+donorte∏j=1Kln(j)⁡(norte),{\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}+{\frac {c}{n\prod _{j=1}^{K}\ln _{(j)}(n)}},}

donde la suma vacía paraK=1{\displaystyle K=1}se supone que es 0.

El proceso de nacimiento y muerte es recurrente si existenK≥1{\displaystyle K\geq 1}ynorte0{\displaystyle n_{0}}de tal manera que para todosnorte>norte0{\displaystyle n>n_{0}}
λnorteμnorte≤1+1norte+1norte∑k=1K1∏j=1kln(j)⁡(norte).{\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}.}

Se pueden encontrar clases más amplias de procesos de nacimiento y muerte, para los cuales se pueden establecer las condiciones de recurrencia y transitoriedad. [ 4 ]

Solicitud

Consideremos un paseo aleatorio unidimensional.St, t=0,1,…,{\displaystyle S_{t},\ t=0,1,\ldots ,}que se define de la siguiente manera. SeaS0=1{\displaystyle S_{0}=1}, ySt=St−1+mit, t≥1,{\displaystyle S_{t}=S_{t-1}+e_{t},\ t\geq 1,}dóndemit{\displaystyle e_{t}}toma valores±1{\displaystyle \pm 1}y la distribución deSt{\displaystyle S_{t}}se define por las siguientes condiciones:

PAG{St+1=St+1|St>0}=12+αStSt,PAG{St+1=St−1|St>0}=12−αStSt,PAG{St+1=1|St=0}=1,{\displaystyle {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}+1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}-1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=1|S_{t}=0\}=1,}

dóndeαnorte{\displaystyle \alpha _{n}}cumplir la condición0<αnorte<min{do,norte/2},do>0{\displaystyle 0<\alpha _{n}<\min\{C,n/2\},C>0}.

El paseo aleatorio descrito aquí es un análogo en tiempo discreto del proceso de nacimiento y muerte (véase cadena de Markov ) con las tasas de natalidad

λnorte=12+αnortenorte,{\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{n}}{n}},}

y las tasas de mortalidad

μnorte=12−αnortenorte{\displaystyle \mu _{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{n}}{n}}}.

Así pues, la recurrencia o transitoriedad del paseo aleatorio está asociada con la recurrencia o transitoriedad del proceso de nacimiento y muerte. [ 3 ]

El paseo aleatorio es transitorio si existendo>1{\displaystyle c>1},K≥1{\displaystyle K\geq 1}ynorte0{\displaystyle n_{0}}de tal manera que para todosnorte>norte0{\displaystyle n>n_{0}}
αnorte≥14(1+∑k=1K−1∏j=1k1ln(j)⁡(norte)+do∏j=1K1ln(j)⁡(norte)),{\displaystyle \alpha _{n}\geq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}+c\prod _{j=1}^{K}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right),}

donde la suma vacía paraK=1{\displaystyle K=1}Se supone que es cero.

El paseo aleatorio es recurrente si existenK≥1{\displaystyle K\geq 1}ynorte0{\displaystyle n_{0}}de tal manera que para todosnorte>norte0{\displaystyle n>n_{0}}
αnorte≤14(1+∑k=1K∏j=1k1ln(j)⁡(norte)).{\displaystyle \alpha _{n}\leq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right).}

Solución estacionaria

Si un proceso de nacimiento y muerte es ergódico, entonces existen probabilidades de estado estacionario.πk=límitet→∞pagk(t),{\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),}dóndepagk(t){\displaystyle p_{k}(t)}es la probabilidad de que el proceso de nacimiento y muerte esté en estadok{\displaystyle k}en ese momentot.{\displaystyle t.}El límite existe, independientemente de los valores iniciales.pagk(0),{\displaystyle p_{k}(0),}y se calcula mediante las siguientes relaciones:

πk=π0∏i=1kλi−1μi,k=1,2,…,{\displaystyle \pi _{k}=\pi _{0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}},\quad k=1,2,\ldots ,}
π0=11+∑k=1∞∏i=1kλi−1μi.{\displaystyle \pi _{0}={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}}}}.}

Estas probabilidades límite se obtienen del sistema infinito de ecuaciones diferenciales parapagk(t):{\displaystyle p_{k}(t):}

pag0′(t)=μ1pag1(t)−λ0pag0(t){\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)\,}
pagk′(t)=λk−1pagk−1(t)+μk+1pagk+1(t)−(λk+μk)pagk(t),k=1,2,…,{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t),k=1,2,\ldots ,\,}

y la condición inicial∑k=0∞pagk(t)=1.{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(t)=1.}

A su vez, el último sistema de ecuaciones diferenciales se deriva del sistema de ecuaciones en diferencias que describe la dinámica del sistema en un pequeño intervalo de tiempo.Δt{\displaystyle \Delta t}Durante este breve tiempoΔt{\displaystyle \Delta t}Solo se consideran tres tipos de transiciones: una muerte, un nacimiento o ningún nacimiento ni muerte. La probabilidad de las dos primeras de estas transiciones tiene el orden deΔt{\displaystyle \Delta t}Otras transiciones durante este pequeño intervaloΔt{\displaystyle \Delta t}tales como más de un nacimiento , o más de una muerte , o al menos un nacimiento y al menos una muerte tienen probabilidades que son de orden menor queΔt{\displaystyle \Delta t}y, por lo tanto, son despreciables en las derivaciones. Si el sistema está en el estado k , entonces la probabilidad de nacimiento durante un intervaloΔt{\displaystyle \Delta t}esλkΔt+o(Δt){\displaystyle \lambda _{k}\Delta t+o(\Delta t)}, la probabilidad de muerte esμkΔt+o(Δt){\displaystyle \mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}y la probabilidad de que no haya nacimiento ni muerte es1−λkΔt−μkΔt+o(Δt){\displaystyle 1-\lambda _{k}\Delta t-\mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}En un proceso poblacional, el "nacimiento" es la transición hacia el aumento del tamaño de la población en 1, mientras que la "muerte" es la transición hacia la disminución del tamaño de la población en 1.

Ejemplos de procesos de nacimiento y muerte

Un proceso de nacimiento puro es un proceso de nacimiento-muerte dondeμi=0{\displaystyle \mu _{i}=0}a pesar dei≥0{\displaystyle i\geq 0}.

Un proceso de muerte pura es un proceso de nacimiento-muerte dondeλi=0{\displaystyle \lambda _{i}=0}a pesar dei≥0{\displaystyle i\geq 0}.

Los modelos M/M/1 y M/M/c , ambos utilizados en la teoría de colas , son procesos de nacimiento y muerte que se emplean para describir a los clientes en una cola infinita.

Uso en filodinámica

Los procesos de nacimiento y muerte se utilizan en filodinámica como una distribución previa para filogenias , es decir, un árbol binario en el que los eventos de nacimiento corresponden a ramas del árbol y los eventos de muerte corresponden a nodos hoja. [ 5 ] Cabe destacar que se utilizan en filodinámica viral [ 6 ] para comprender el proceso de transmisión y cómo cambia el número de personas infectadas a lo largo del tiempo. [ 7 ]

El uso de procesos generalizados de nacimiento y muerte en filodinámica ha estimulado investigaciones sobre el grado en que las tasas de nacimiento y muerte pueden identificarse a partir de datos. [ 8 ] Si bien el modelo es generalmente no identificable, el subconjunto de modelos que se utilizan habitualmente sí lo es. [ 9 ]

Uso en la teoría de colas

En la teoría de colas, el proceso de nacimiento-muerte es el ejemplo más fundamental de un modelo de colas , el M/M/C/K/∞{\displaystyle \infty }Cola FIFO (en notación completa de Kendall ). Se trata de una cola con llegadas de Poisson , extraídas de una población infinita, y C servidores con tiempos de servicio distribuidos exponencialmente y K posiciones en la cola. A pesar de la suposición de una población infinita, este modelo es adecuado para diversos sistemas de telecomunicaciones.

Cola M/M/1

La cola M/M/1 es una cola de un solo servidor con un tamaño de búfer infinito. En un entorno no aleatorio, el proceso de nacimiento y muerte en los modelos de colas tiende a ser promedios a largo plazo, por lo que la tasa promedio de llegada se da comoλ{\displaystyle \lambda }y el tiempo promedio de servicio como1/μ{\displaystyle 1/\mu }. El proceso de nacimiento y muerte es una cola M/M/1 cuando,

λi=λ y μi=μ a pesar de i.{\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ and }}\mu _{i}=\mu {\text{ for all }}i.\,}

Las ecuaciones diferenciales para la probabilidad de que el sistema esté en el estado k en el instante t son:

pag0′(t)=μpag1(t)−λpag0(t),{\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}
pagk′(t)=λpagk−1(t)+μpagk+1(t)−(λ+μ)pagk(t)para k=1,2,…{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}

Proceso de nacimiento puro asociado a una cola M/M/1

Proceso de nacimiento puro conλk≡λ{\displaystyle \lambda _{k}\equiv \lambda }es un caso particular del proceso de colas M/M/1. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales :

pag0′(t)=−λpag0(t),{\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=-\lambda p_{0}(t),\,}
pagk′(t)=λpagk−1(t)−λpagk(t)para k=1,2,…{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}

Bajo la condición inicialpag0(0)=1{\displaystyle p_{0}(0)=1}ypagk(0)=0, k=1,2,…{\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=1,2,\ldots }, la solución del sistema es

pagk(t)=(λt)kk¡mi−λt.{\displaystyle p_{k}(t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda t}.}

Es decir, un proceso de Poisson (homogéneo) es un proceso de nacimiento puro.

Cola M/M/c

La cola M/M/C es una cola multiservidor con C servidores y un búfer infinito. Se caracteriza por los siguientes parámetros de nacimiento y muerte:

μi=iμ para i≤do−1,{\displaystyle \mu _{i}=i\mu \quad {\text{ for }}i\leq C-1,\,}

y

μi=doμ para i≥do,{\displaystyle \mu _{i}=C\mu \quad {\text{ for }}i\geq C,\,}

con

λi=λ a pesar de i.{\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for all }}i.\,}

El sistema de ecuaciones diferenciales en este caso tiene la forma:

pag0′(t)=μpag1(t)−λpag0(t),{\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}
pagk′(t)=λpagk−1(t)+(k+1)μpagk+1(t)−(λ+kμ)pagk(t)para k=1,2,…,do−1,{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,C-1,\,}
pagk′(t)=λpagk−1(t)+doμpagk+1(t)−(λ+doμ)pagk(t)para k≥do.{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+C\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +C\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k\geq C.\,}

Proceso de muerte pura asociado a una cola M/M/C

Proceso de muerte pura conμk=kμ{\displaystyle \mu _{k}=k\mu }es un caso particular del proceso de colas M/M/C. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales :

pagdo′(t)=−doμpagdo(t),{\displaystyle p_{C}^{\prime }(t)=-C\mu p_{C}(t),\,}
pagk′(t)=(k+1)μpagk+1(t)−kμpagk(t)para k=0,1,…,do−1.{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=(k+1)\mu p_{k+1}(t)-k\mu p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=0,1,\ldots ,C-1.\,}

Bajo la condición inicialpagdo(0)=1{\displaystyle p_{C}(0)=1}ypagk(0)=0, k=0,1,…,do−1,{\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=0,1,\ldots ,C-1,}obtenemos la solución

pagk(t)=(dok)mi−kμt(1−mi−μt)do−k,{\displaystyle p_{k}(t)={\binom {C}{k}}\mathrm {e} ^{-k\mu t}\left(1-\mathrm {e} ^{-\mu t}\right)^{C-k},}

que presenta la versión de la distribución binomial en función del parámetro de tiempot{\displaystyle t}(véase Proceso binomial ).

Cola M/M/1/K

La cola M/M/1/K es una cola de un solo servidor con un búfer de tamaño K. Esta cola tiene aplicaciones en telecomunicaciones, así como en biología cuando una población tiene un límite de capacidad. En telecomunicaciones volvemos a usar los parámetros de la cola M/M/1 con,

λi=λ para 0≤i<K,{\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for }}0\leq i<K,\,}
λi=0 para i≥K,{\displaystyle \lambda _{i}=0\quad {\text{ for }}i\geq K,\,}
μi=μ para 1≤i≤K.{\displaystyle \mu _{i}=\mu \quad {\text{ for }}1\leq i\leq K.\,}

En biología, particularmente en el crecimiento de bacterias, cuando la población es cero no hay capacidad de crecimiento, por lo tanto,

λ0=0.{\displaystyle \lambda _{0}=0.\,}

Además, si la capacidad representa un límite donde el individuo muere por sobrepoblación,

μK=0.{\displaystyle \mu _{K}=0.\,}

Las ecuaciones diferenciales para la probabilidad de que el sistema esté en el estado k en el instante t son:

pag0′(t)=μpag1(t)−λpag0(t),{\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),}
pagk′(t)=λpagk−1(t)+μpagk+1(t)−(λ+μ)pagk(t) para k≤K−1,{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{ for }}k\leq K-1,\,}
pagK′(t)=λpagK−1(t)−(λ+μ)pagK(t),{\displaystyle p_{K}^{\prime }(t)=\lambda p_{K-1}(t)-(\lambda +\mu )p_{K}(t),\,}
pagk(t)=0 para k>K.{\displaystyle p_{k}(t)=0\quad {\text{ for }}k>K.\,}

Equilibrio

Se dice que una cola está en equilibrio si las probabilidades de estado estacionarioπk=límitet→∞pagk(t), k=0,1,…,{\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),\ k=0,1,\ldots ,}Existen. La condición para la existencia de estas probabilidades de estado estacionario en el caso de una cola M/M/1 esρ=λ/μ<1{\displaystyle \rho =\lambda /\mu <1}y en el caso de la cola M/M/C esρ=λ/(doμ)<1{\displaystyle \rho =\lambda /(C\mu )<1}. El parámetroρ{\displaystyle \rho }Generalmente se le llama parámetro de carga o parámetro de utilización . A veces también se le llama intensidad de tráfico .

Utilizando la cola M/M/1 como ejemplo, las ecuaciones de estado estacionario son:

λπ0=μπ1,{\displaystyle \lambda \pi _{0}=\mu \pi _{1},\,}
(λ+μ)πk=λπk−1+μπk+1.{\displaystyle (\lambda +\mu )\pi _{k}=\lambda \pi _{k-1}+\mu \pi _{k+1}.\,}

Esto se puede reducir a

λπk=μπk+1 para k≥0.{\displaystyle \lambda \pi _{k}=\mu \pi _{k+1}{\text{ for }}k\geq 0.\,}

Entonces, teniendo en cuenta queπ0+π1+…=1{\displaystyle \pi _{0}+\pi _{1}+\ldots =1}, obtenemos

πk=(1−ρ)ρk.{\displaystyle \pi _{k}=(1-\rho )\rho ^{k}.}

Proceso bilateral de nacimiento y muerte

El proceso bilateral de nacimiento y muerte se define de manera similar al estándar, con la única diferencia de que las tasas de natalidad y mortalidad son diferentes.λi{\displaystyle \lambda _{i}}yμi{\displaystyle \mu _{i}}se definen para los valores del parámetro de índicei=0,±1,±2,…{\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }. [ 10 ] A continuación, un proceso bilateral de nacimiento y muerte es recurrente si y solo si

∑i=1∞∏norte=1iμnorteλnorte=∞y∑i=1∞∏norte=1iλ−norteμ−norte=∞.{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{-n}}{\mu _{-n}}}=\infty .}

Las nociones de ergodicidad y recurrencia nula se definen de manera similar extendiendo las nociones correspondientes del proceso estándar de nacimiento y muerte.

Véase también

Notas

  1. ^ Feller, William (1939). "Die Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in wahrscheinlichkeitstheoretischer Behandlung". Acta Bioteórica . 5 (1): 11– 40. doi : 10.1007/BF01602932 .
  2. ↑ Karlin, Samuel ; McGregor, James (1957). "La clasificación de los procesos de nacimiento y muerte" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 86 (2): 366–400 . doi : 10.1090/S0002-9947-1957-0094854-8 .
  3. 1 2 Abramov, Vyacheslav M. (2020). "Extensión de la prueba de Bertrand-De Morgan y su aplicación" . The American Mathematical Monthly . 127 (5): 444– 448. arXiv : 1901.05843 . doi : 10.1080/00029890.2020.1722551 . S2CID 199552015 . 
  4. ↑ Abramov, Vyacheslav M. (2022). "Condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de series positivas" (PDF) . Journal of Classical Analysis . 19 (2): 117– 125. arXiv : 2104.01702 . doi : 10.7153/jca-2022-19-09 . S2CID 233025219 . 
  5. ↑ Stadler T (diciembre de 2010). "Muestreo a través del tiempo en árboles de nacimiento y muerte". Journal of Theoretical Biology . 267 (3): 396– 404. Bibcode : 2010JThBi.267..396S . doi : 10.1016/j.jtbi.2010.09.010 . PMID 20851708 . 
  6. ↑ Kühnert D, Wu CH, Drummond AJ (diciembre de 2011). "Modelado filogenético y epidémico de enfermedades infecciosas de rápida evolución" . Infection , Genetics and Evolution . 11 (8): 1825– 41. doi : 10.1016/j.meegid.2011.08.005 . PMC 7106223. PMID 21906695 .  
  7. ↑ Zarebski AE, du Plessis L, Parag KV, Pybus OG (febrero de 2022). "Un modelo de nacimiento-muerte computacionalmente manejable que combina datos filogenéticos y epidemiológicos" . PLOS Computational Biology . 18 (2) e1009805. Bibcode : 2022PLSCB..18E9805Z . doi : 10.1371/journal.pcbi.1009805 . PMC 8903285. PMID 35148311 .  
  8. ↑ Louca S, Pennell MW (abril de 2020). "Los árboles temporales existentes son consistentes con una miríada de historias de diversificación" ( PDF) . Nature . 508 (7804): 502– 505. Bibcode : 2020Natur.580..502L . doi : 10.1038/s41586-020-2176-1 . PMID 32322065. S2CID 215775763 .  
  9. ↑ Legried B, Terhorst (agosto de 2022). "Una clase de modelos filogenéticos identificables de nacimiento y muerte" . PNAS . 119 ( 35) e2119513119. Bibcode : 2022PNAS..11919513L . doi : 10.1073/pnas.2119513119 . PMC 9436344. PMID 35994663 .  
  10. ↑ Pruitt, William E. (1963). "Procesos bilaterales de nacimiento y muerte" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 107 (3): 508– 525. doi : 10.1090/S0002-9947-1963-0150858-0 .

Referencias

  • Latouche, G.; Ramaswami, V. (1999). «Procesos cuasi-nacimiento-y-muerte». Introducción a los métodos analíticos matriciales en el modelado estocástico (1.ª  ed.). ASA SIAM. ISBN 0-89871-425-7.
  • Nowak, MA (2006). Dinámica evolutiva: Explorando las ecuaciones de la vida . Harvard University Press. ISBN 0-674-02338-2.
  • Virtamo, J. "Procesos de nacimiento y muerte" (PDF) . 38.3143 Teoría de colas . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .