ecuación de Biryukov

En el estudio de sistemas dinámicos , la ecuación de Biryukov (o oscilador de Biryukov ), que recibe su nombre de Vadim Biryukov (1946), es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden que se utiliza para modelar osciladores amortiguados . ^{[ 1 ]}

La ecuación viene dada por $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(y){\frac {dy}{dt}}+y=0,\qquad \qquad (1)}$$

donde ƒ ( y ) es una función constante a trozos que es positiva, excepto para valores pequeños de y como

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(y)={\begin{cases}-F,&|y|\leq Y_{0};\\[4pt]F,&|y|>Y_{0}.\end{cases}}\\[6pt]&F={\text{const.}}>0,\quad Y_{0}={\text{const.}}>0.\end{aligned}}}$$

La ecuación (1) es un caso especial de la ecuación de Lienard ; describe las autooscilaciones.

La solución (1) en intervalos de tiempo separados cuando f(y) es constante viene dada por ^{[ 2 ].}

$${\displaystyle y_{k}(t)=A_{1,k}\exp(s_{1,k}t)+A_{2,k}\exp(s_{2,k}t)\qquad \qquad (2)}$$

donde exp denota la función exponencial . Aquí $${\displaystyle s_{k}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {F}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {F}{2}}\right)^{2}-1}},&|y|<Y_{0};\\[2pt]\displaystyle -{\frac {F}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {F}{2}}\right)^{2}-1}}&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}$$ La expresión (2) se puede utilizar para valores reales y complejos de s _k .

La solución del primer medio período en${\displaystyle y(0)=\pm Y_{0}}$es

$${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&={\begin{cases}y_{1}(t),&0\leq t<T_{0};\\[4pt]y_{2}(t),&\displaystyle T_{0}\leq t<{\frac {T}{2}}.\end{cases}}\\[4pt]y_{1}(t)&=A_{1,k}\cdot \exp(s_{1,k}t)+A_{2,k}\cdot \exp(s_{2,k}t),\\[2pt]y_{2}(t)&=A_{3,k}\cdot \exp(s_{3,k}t)+A_{4,k}\cdot \exp(s_{4,k}t).\end{aligned}}}$$

La solución del segundo medio período es

$${\displaystyle y(t)={\begin{cases}\displaystyle -y_{1}\left(t-{\frac {T}{2}}\right),&\displaystyle {\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}+T_{0};\\[4pt]\displaystyle -y_{2}\left(t-{\frac {T}{2}}\right),&\displaystyle {\frac {T}{2}}+T_{0}\leq t<T.\end{cases}}}$$

La solución contiene cuatro constantes de integración A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ , el período T y el límite T ₀ entre y ₁ ( t ) e y ₂ ( t ) que deben ser hallados. Una condición de contorno se deriva de la continuidad de y ( t ) y dy / dt . ^{[ 3 ]}

La solución de (1) en el modo estacionario se obtiene resolviendo un sistema de ecuaciones algebraicas como

$${\displaystyle {\begin{array}{ll}&y_{1}(0)=-Y_{0}&y_{1}(T_{0})=Y_{0}\\[6pt]&y_{2}(T_{0})=Y_{0}&y_{2}\!\left({\tfrac {T}{2}}\right)=Y_{0}\\[6pt]&\displaystyle \left.{\frac {dy_{1}}{dt}}\right|_{T_{0}}=\left.{\frac {dy_{2}}{dt}}\right|_{T_{0}}\qquad &\displaystyle \left.{\frac {dy_{1}}{dt}}\right|_{0}=-\left.{\frac {dy_{2}}{dt}}\right|_{\frac {T}{2}}\end{array}}}$$

Las constantes de integración se obtienen mediante el algoritmo de Levenberg-Marquardt . Con${\displaystyle f(y)=\mu (-1+y^{2})}$,${\displaystyle \mu ={\text{const.}}>0,}$ La ecuación (1) se denomina oscilador de Van der Pol . Su solución no puede expresarse mediante funciones elementales en forma cerrada.