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Coordenadas bisféricas

Ilustración de coordenadas bisféricas, obtenidas mediante la rotación de un sistema de coordenadas bipolares bidimensional alrededor del eje que une sus dos focos. Los focos se ...

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Ilustración de coordenadas bisféricas, obtenidas mediante la rotación de un sistema de coordenadas bipolares bidimensional alrededor del eje que une sus dos focos. Los focos se encuentran a una distancia de 1 del eje vertical z . El toro rojo que se autointerseca es la isosuperficie σ = 45°, la esfera azul es la isosuperficie τ = 0,5 y el semiplano amarillo es la isosuperficie φ = 60°. El semiplano verde marca el plano x - z , desde el cual se mide φ. El punto negro se encuentra en la intersección de las isosuperficies roja, azul y amarilla, en coordenadas cartesianas aproximadas (0,841, -1,456, 1,239).

Las coordenadas bisféricas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensional que resulta de rotar el sistema de coordenadas bipolares bidimensional alrededor del eje que conecta los dos focos. Por lo tanto, los dos focosF1{\displaystyle F_{1}}yF2{\displaystyle F_{2}}en coordenadas bipolares permanecen puntos (en elz{\displaystyle z}eje -, el eje de rotación) en el sistema de coordenadas bisféricas.

Definición

La definición más común de coordenadas bisféricas(τ,σ,ϕ){\displaystyle (\tau,\sigma,\phi)}es

incógnita=a pecado⁡σaporrear⁡τ−porque⁡σporque⁡ϕ,y=a pecado⁡σaporrear⁡τ−porque⁡σpecado⁡ϕ,z=a sinh⁡τaporrear⁡τ−porque⁡σ,{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}}

donde elσ{\displaystyle \sigma }Coordenada de un puntoPAG{\displaystyle P}es igual al ánguloF1PAGF2{\displaystyle F_{1}PF_{2}}y elτ{\displaystyle \tau }La coordenada es igual al logaritmo natural de la razón de las distancias.d1{\displaystyle d_{1}}yd2{\displaystyle d_{2}}a los focos

τ=ln⁡d1d2{\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}

Los rangos de coordenadas son −∞ <τ{\displaystyle \tau }< ∞, 0 ≤σ{\displaystyle \sigma }≤π{\displaystyle \pi }y 0 ≤ϕ{\displaystyle \phi }≤ 2π{\displaystyle \pi }.

Superficies de coordenadas

Superficies de constanteσ{\displaystyle \sigma }corresponden a toros que se intersecan con radios diferentes

z2+(incógnita2+y2−acuna⁡σ)2=a2pecado2⁡σ{\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}

que todas pasan por los focos pero no son concéntricas. Las superficies de constanteτ{\displaystyle \tau }son esferas que no se intersecan y tienen radios diferentes

(incógnita2+y2)+(z−acoth⁡τ)2=a2sinh2⁡τ{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}

que rodean los focos. Los centros de la constante-τ{\displaystyle \tau }Las esferas se encuentran a lo largo de laz{\displaystyle z}eje, mientras que la constante-σ{\displaystyle \sigma }Los toros están centrados en elincógnitay{\displaystyle xy}avión.

Fórmulas inversas

Las fórmulas para la transformación inversa son:

σ=arcos⁡(R2−a2Q),τ=arsinh⁡(2azQ),ϕ=arctan⁡(yincógnita),{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left({\dfrac {R^{2}-a^{2}}{Q}}\right),\\\tau &=\operatorname {arsinh} \left({\dfrac {2az}{Q}}\right),\\\phi &=\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right),\end{aligned}}}

dóndeR=incógnita2+y2+z2{\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}yQ=(R2+a2)2−(2az)2.{\textstyle Q={\sqrt {\left(R^{2}+a^{2}\right)^{2}-\left(2az\right)^{2}}}.}

factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas bisféricasσ{\displaystyle \sigma }yτ{\displaystyle \tau }son iguales

hσ=hτ=aaporrear⁡τ−porque⁡σ{\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}

mientras que el factor de escala azimutal es igual a

hϕ=apecado⁡σaporrear⁡τ−porque⁡σ{\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a

dV=a3pecado⁡σ(aporrear⁡τ−porque⁡σ)3dσdτdϕ{\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }

y el laplaciano viene dado por

∇2Φ=(aporrear⁡τ−porque⁡σ)3a2pecado⁡σ[∂∂σ(pecado⁡σaporrear⁡τ−porque⁡σ∂Φ∂σ)+pecado⁡σ∂∂τ(1aporrear⁡τ−porque⁡σ∂Φ∂τ)+1pecado⁡σ(aporrear⁡τ−porque⁡σ)∂2Φ∂ϕ2]{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}&\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}

Otros operadores diferenciales como∇⋅F{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }y∇×F{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }puede expresarse en coordenadas(σ,τ){\displaystyle (\sigma ,\tau )}sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas bisféricas se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , como la ecuación de Laplace , para la cual las coordenadas bisféricas permiten la separación de variables . Sin embargo, la ecuación de Helmholtz no es separable en coordenadas bisféricas. Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea a dos esferas conductoras de radios diferentes.

Referencias

Bibliografía

  • Morse PM, Feshbach H (1953). Métodos de física teórica, partes I y II . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 665–666 , 1298–1301 . 
  • Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pág.  182. LCCN 59014456 . 
  • Zwillinger D (1992). Manual de integración . Boston, MA: Jones and Bartlett. pág.  113. ISBN 0-86720-293-9.
  • Moon PH, Spencer DE (1988). «Coordenadas bisféricas (η, θ, ψ)». Manual de teoría de campos, incluyendo sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª ed. corregida, 3.ª reimpresión  ). Nueva York: Springer Verlag. págs.  110-112 (Sección IV, E4Rx). ISBN 0-387-02732-7.
  • Descripción de coordenadas bisféricas en MathWorld