Distribución bivariada de von Mises

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución bivariada de von Mises es una distribución de probabilidad que describe valores en un toro . Puede pensarse como un análogo en el toro de la distribución normal bivariada . La distribución pertenece al campo de la estadística direccional . La distribución bivariada general de von Mises fue propuesta por primera vez por Kanti Mardia en 1975. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Una de sus variantes se utiliza hoy en el campo de la bioinformática para formular un modelo probabilístico de la estructura de proteínas con detalle atómico, ^{[ 3 ] [ 4 ]} como las bibliotecas de rotámeros dependientes del esqueleto .

La distribución bivariada de von Mises es una distribución de probabilidad definida en el toro ,${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. La función de densidad de probabilidad de la distribución bivariada general de von Mises para los ángulos${\displaystyle \phi ,\psi \in [0,2\pi ]}$está dado por ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(\phi ,\psi )\propto \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+(\cos(\phi -\mu ),\sin(\phi -\mu ))\mathbf {A} (\cos(\psi -\nu ),\sin(\psi -\nu ))^{T}],}$

dónde${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$son los medios para${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle \psi }$,${\displaystyle \kappa _{1}}$y${\displaystyle \kappa _{2}}$su concentración y la matriz${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {M} (2,2)}$está relacionado con su correlación.

Dos variantes comúnmente utilizadas de la distribución bivariada de von Mises son la variante seno y la variante coseno.

La variante coseno de la distribución bivariada de von Mises ^{[ 3 ]} tiene la función de densidad de probabilidad

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{c}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )-\kappa _{3}\cos(\phi -\mu -\psi +\nu )],}$

dónde${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$son los medios para${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle \psi }$,${\displaystyle \kappa _{1}}$y${\displaystyle \kappa _{2}}$su concentración y${\displaystyle \kappa _{3}}$está relacionado con su correlación.${\displaystyle Z_{c}}$es la constante de normalización. Esta distribución con${\displaystyle \kappa _{3}}$=0 se ha utilizado para estimaciones de densidad de núcleo de la distribución de los ángulos diedros de la proteína.${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle \psi }$. ^{[ 4 ]}

La variante sinusoidal tiene la función de densidad de probabilidad ^{[ 5 ]}

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{s}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+\kappa _{3}\sin(\phi -\mu )\sin(\psi -\nu )],}$

donde los parámetros tienen la misma interpretación.

• Distribución de Von Mises , una distribución similar en el círculo unitario unidimensional.
• Distribución de Kent , una distribución relacionada en la esfera unitaria bidimensional.
• Distribución de von Mises-Fisher
• Estadísticas direccionales