La aproximación de Black

En finanzas , la aproximación de Black es un método aproximado para calcular el valor de una opción de compra americana sobre una acción que paga un único dividendo. Fue descrita por Fischer Black en 1975. ^{[ 1 ]}

La fórmula de Black-Scholes (en adelante, "Fórmula BS") proporciona una ecuación explícita para el valor de una opción de compra sobre una acción que no paga dividendos. En caso de que la acción pague uno o más dividendos discretos, no se conoce una fórmula cerrada, pero se pueden utilizar varias aproximaciones; de lo contrario, la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes deberá resolverse numéricamente. Una de estas aproximaciones se describe aquí. Véase también Modelo de Black-Scholes#Opciones americanas .

El método consiste esencialmente en utilizar la fórmula de Black-Scholes para calcular el valor de dos opciones de compra europeas: (1) Una opción de compra europea con el mismo vencimiento que la opción de compra americana que se está valorando, pero con el precio de la acción reducido por el valor actual del dividendo, y (2) Una opción de compra europea que vence el día anterior al pago del dividendo. El mayor de los valores (1) y (2) se toma como valor aproximado de la opción de compra americana. Véase el ejemplo adjunto. El valor resultante se denomina a veces valor "pseudoamericano" de la opción de compra.

Considere una opción de compra americana con fechas ex-dividendo a 3 y 5 meses, y con vencimiento a 6 meses. Se espera que el dividendo en cada fecha ex-dividendo sea de $0.70. A continuación se presenta información adicional. Calcule el valor de la opción de compra americana.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=\$40\\X&=\$40\\\sigma &=30\%\;pa\\r&=10\%\;pa\\T&=6\;months=.5\;years\\D&=\$0.70\\\end{aligned}}}$

Primero, debemos calcular basándonos en los dos métodos proporcionados anteriormente en la sección de métodos. Aquí calcularemos ambas partes:

(1) Este es el primer método de cálculo, que establece:

Una opción de compra europea con el mismo vencimiento que la opción de compra americana que se está valorando, pero con el precio de la acción reducido por el valor actual del dividendo.

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}}{m}})}+D_{2}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{2}}{m}})}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle PV}$es el valor actual neto de los dividendos en las fechas ex-dividendo (utilizamos las fechas ex-dividendo porque en esta fecha el precio de la acción disminuye en la cantidad del dividendo).

${\displaystyle D_{1,2}}$son los dividendos en las fechas ex-dividendo

${\displaystyle r}$es la tasa libre de riesgo del mercado, que asumiremos que es constante para este ejemplo.

${\displaystyle \Delta t_{1,2}}$tiempo hasta la fecha ex dividendo

${\displaystyle m}$un factor de división para llevar el Δt a un año completo. (ejemplo${\displaystyle \Delta t}$= 2 meses,${\displaystyle m}$= 12 meses, por lo tanto${\displaystyle {\frac {\Delta t}{m}}}$= 2/12 = 0,166667)

${\displaystyle e}$es la función exponencial .

Aplicando esta fórmula a la pregunta:

${\displaystyle {\begin{aligned}0.7e^{-(.1)({\frac {3}{12}})}+0.7e^{-(.1)({\frac {5}{12}})}=1.3541\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el precio de la opción se puede calcular utilizando el modelo Black-Scholes -Merton, donde se descontarán los dividendos de${\displaystyle S_{0}}$que denotaré por${\displaystyle S_{0}'}$para el nuevo valor:

${\displaystyle S_{0}'=40-1.3541=38.6459}$

El resto de las variables permanecen iguales. Ahora necesitamos calcular d ₁ y d ₂ usando estas fórmulas.

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=S_{0}N(d_{1})-Xe^{-r(T)}N(d_{2})\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {S_{0}}{X}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T)\right]}{\sigma {\sqrt {T}}}}\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}\end{aligned}}}$

dónde,

${\displaystyle N(\cdot )}$es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar

${\displaystyle T}$es el momento de la madurez

${\displaystyle S_{0}}$es el precio actual del activo subyacente

${\displaystyle X}$es el precio de ejercicio

${\displaystyle r}$es la tasa libre de riesgo (tasa anual, expresada en términos de capitalización continua )

${\displaystyle \sigma }$es la volatilidad de los rendimientos del activo subyacente

Al introducir los valores obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {38.6459}{40}}\right)+\left(0.1+{\frac {0.3^{2}}{2}}\right)(0.5)\right]}{0.3{\sqrt {0.5}}}}=0.1794\\d_{2}&=0.1794-0.3{\sqrt {0.5}}=-0.0327\\N(d_{1})&=0.5712\\N(d_{2})&=0.4870\\C&=38.6459(0.5712)-40e^{-0.1(0.5)}(0.4870)=3.5446\approx $3.54\end{aligned}}}$

(2) Este es el segundo método de cálculo, que establece:

Una opción de compra europea que vence el día anterior al pago del dividendo.

Este método comienza igual que el método anterior, excepto que el vencimiento de esta opción se establece en el último vencimiento antes del último dividendo (es decir, el segundo dividendo del quinto mes):

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}}{m}})}\end{aligned}}}$

En general, las variables permanecen iguales, excepto el tiempo hasta el vencimiento, que es igual a:

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=5\;meses=.4167\;años\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=0.7e^{-(0.1)({\frac {3}{12}})}=0.6827\\S_{0}'&=40-0.6827=39.3173\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {39.3173}{40}}\right)+\left(0.1+{\frac {0.3^{2}}{2}}\right)(0.4167)\right]}{0.3{\sqrt {0.4167}}}}=0.2231\\d_{2}&=0.2231-0.3{\sqrt {0.4167}}=0.0294\\N(d_{1})&=0.5883\\N(d_{2})&=0.5117\\C&=39.3173(0.5883)-40e^{-0.1(0.4167)}(0.5117)=3.4997\approx \$3.50\end{aligned}}}$

Método de recuperación (1) precio de${\displaystyle \$3.54>\$3.50}$Del método (2), vemos que el precio de la opción de compra americana, según la aproximación de Fisher Black, es el mayor de los dos métodos, por lo tanto, el precio de la opción =${\displaystyle \$3.54}$.

• Hull, John C. (1997). Opciones, futuros y otros derivados . Prentice Hall. ISBN 0-13-601589-1.