La conjetura de Blattner

En matemáticas , la conjetura o fórmula de Blattner describe las representaciones en serie discreta de un grupo semisimple general G en términos de sus representaciones restringidas a un subgrupo compacto maximal K (sus llamados K- tipos). Recibe su nombre de Robert James Blattner , aunque él no la formuló como una conjetura.

La fórmula de Blattner dice que si una representación de serie discreta con carácter infinitesimal λ está restringida a un subgrupo compacto maximal K , entonces la representación de K con el peso más alto μ ocurre con multiplicidad

${\displaystyle \sum _{w\in W_{K}}\epsilon (\omega )Q(w(\mu +\rho _{c})-\lambda -\rho _{n})}$

dónde

Q es el número de maneras en que un vector puede escribirse como una suma de raíces positivas no compactas.

W _K es el grupo de Weyl de K

ρ _c es la mitad de la suma de las raíces compactas

ρ _n es la mitad de la suma de las raíces no compactas

ε es el carácter de signo de W _K .

La fórmula de Blattner se obtiene al restringir formalmente la fórmula del carácter de Harish-Chandra para una representación en serie discreta al toro maximal de un grupo compacto maximal. El problema al demostrar la fórmula de Blattner radica en que esta solo proporciona el carácter sobre los elementos regulares del toro maximal, y además es necesario controlar su comportamiento sobre los elementos singulares. Para representaciones irreducibles no discretas, la restricción formal de la fórmula del carácter de Harish-Chandra no necesariamente proporciona la descomposición bajo el subgrupo compacto maximal: por ejemplo, para las representaciones en serie principales de SL _2, el carácter es idénticamente cero sobre los elementos no singulares del subgrupo compacto maximal, pero la representación no es cero sobre este subgrupo. En este caso, el carácter es una distribución sobre el subgrupo compacto maximal con soporte en los elementos singulares.

Harish-Chandra atribuyó oralmente la conjetura a Robert James Blattner como una pregunta que él planteó, no como una conjetura formulada por él. Blattner no la publicó en ningún formato. Apareció por primera vez impresa en Schmid (1968 , teorema 2) , donde se la denominó inicialmente "Conjetura de Blattner", a pesar de que los resultados de dicho artículo se obtuvieron sin conocimiento de la pregunta de Blattner y sin que este formulara tal conjetura. Okamoto y Ozeki (1967) mencionaron un caso particular de la misma poco antes.

Schmid (1975a) demostró que la fórmula de Blattner proporcionaba una cota superior para las multiplicidades de las K -representaciones, Schmid (1975b) demostró la conjetura de Blattner para grupos cuyo espacio simétrico es hermitiano, y Hecht y Schmid (1975) demostraron la conjetura de Blattner para grupos semisimples lineales. La conjetura (fórmula) de Blattner también fue demostrada por Enright (1979) mediante métodos infinitesimales totalmente nuevos y completamente diferentes de los de Hecht y Schmid (1975). Parte del impulso para el artículo de Enright (1979) provino de varias fuentes: de Enright y Varadarajan (1975) , Wallach (1976) , Enright y Wallach (1978) . En Enright (1979) también se dan fórmulas de multiplicidad para las llamadas representaciones de series discretas simuladas. Enright (1978) utilizó sus ideas para obtener resultados sobre la construcción y clasificación de módulos irreducibles de Harish-Chandra de cualquier álgebra de Lie semisimple real .

• Enright, Thomas J; Varadarajan, VS (1975), "Sobre una caracterización infinitesimal de la serie discreta.", Annals of Mathematics , 102 (1): 1– 15, doi : 10.2307/1970970 , JSTOR 1970970 , MR 0476921  
• Enright, Thomas J; Wallach, Nolan R (1978), "La serie fundamental de representaciones de un álgebra de Lie semisimple real", Acta Mathematica , 140 ( 1– 2): 1– 32, doi : 10.1007/bf02392301 , MR 0476814 
• Enright, Thomas J (1978), "Sobre la construcción algebraica y la clasificación de los módulos de Harish-Chandra", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 75 (3): 1063– 1065, Bibcode : 1978PNAS...75.1063E , doi : 10.1073/pnas.75.3.1063 , MR 0480871 , PMC 411407 , PMID 16592507   
• Enright, Thomas J (1979), "Sobre la serie fundamental de un álgebra de Lie semisimple real: su irreducibilidad, resoluciones y fórmulas de multiplicidad", Annals of Mathematics , 110 (1): 1–82 , doi : 10.2307/1971244 , JSTOR 1971244 , MR 0541329  
• Hecht, Henryk; Schmid, Wilfried (1975), "Una demostración de la conjetura de Blattner", Inventiones Mathematicae , 31 (2): 129–154 , doi : 10.1007/BF01404112 , ISSN 0020-9910 , MR 0396855 , S2CID 123048659   
• Okamoto, Kiyosato; Ozeki, Hideki (1967), "Sobre espacios de ∂ -cohomología de cuadrado integrable adjuntos a espacios simétricos hermíticos" , Osaka Journal of Mathematics , 4 : 95–110 , ISSN 0030-6126 , MR 0229260  
• Schmid, Wilfried (1968), "Variedades complejas homogéneas y representaciones de grupos de Lie semisimples", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 59 (1): 56– 59, Bibcode : 1968PNAS...59...56S , doi : 10.1073/pnas.59.1.56 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 58599 , MR 0225930 , PMC 286000 , PMID 16591593     
• Schmid, Wilfried (1970), "Sobre la realización de la serie discreta de un grupo de Lie semisimple.", Rice University Studies , 56 (2): 99–108 , ISSN 0035-4996 , MR 0277668  
• Schmid, Wilfried (1975a), "Algunas propiedades de las representaciones de cuadrado integrable de grupos de Lie semisimples", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 102 (3): 535– 564, doi : 10.2307/1971043 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971043 , MR 0579165   
• Schmid, Wilfried (1975b), "Sobre los caracteres de las series discretas. El caso simétrico hermitiano", Inventiones Mathematicae , 30 (1): 47–144 , Bibcode : 1975InMat..30...47S , doi : 10.1007/BF01389847 , ISSN 0020-9910 , MR 0396854 , S2CID 120935812   
• Wallach, Nolan R (1976), "Sobre los módulos Enright-Varadarajan: una construcción de la serie discreta", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4 (1): 81– 101, doi : 10.24033/asens.1304 , MR 0422518