Grupo Chow superior de Bloch

En geometría algebraica, los grupos de Chow superiores de Bloch , una generalización del grupo de Chow , son un precursor y un ejemplo básico de la cohomología motívica (para variedades suaves). Fue introducido por Spencer Bloch (Bloch 1986) y la teoría básica ha sido desarrollada por Bloch y Marc Levine .

En términos más precisos, un teorema de Voevodsky ^[1] implica: para un esquema suave X sobre un cuerpo y números enteros p , q , existe un isomorfismo natural

${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(X;\mathbb {Z} (q))\simeq \operatorname {CH} ^{q}(X,2q-p)}$

entre grupos de cohomología motívica y grupos de Chow superiores.

Una de las motivaciones para los grupos de Chow superiores proviene de la teoría de la homotopía. En particular, si son ciclos algebraicos en los que son racionalmente equivalentes a través de un ciclo , entonces pueden considerarse como un camino entre y , y los grupos de Chow superiores están destinados a codificar la información de mayor coherencia de homotopía. Por ejemplo,${\displaystyle \alpha ,\beta \en Z_{*}(X)}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \gamma \en Z_{*}(X\times \Delta ^{1})}$${\estilo de visualización \gamma}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \beta}$

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,0)}$

pueden considerarse como las clases de homotopía de los ciclos mientras

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,1)}$

pueden considerarse como las clases de homotopía de homotopías de ciclos.

Sea X un esquema algebraico cuasi-proyectivo sobre un cuerpo (“algebraico” significa separado y de tipo finito).

Para cada entero , defina ${\displaystyle q\geq 0}$

${\displaystyle \Delta ^{q}=\operatorname {Espec} (\mathbb {Z} [t_{0},\puntos ,t_{q}]/(t_{0}+\puntos +t_{q}-1)),}$

que es un análogo algebraico de un q -símplex estándar. Para cada secuencia , el subesquema cerrado , que es isomorfo a , se denomina cara de . ${\displaystyle 0\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}\leq q}$${\displaystyle t_{i_{1}}=t_{i_{2}}=\cdots =t_{i_{r}}=0}$${\displaystyle \Delta ^{qr}}$${\displaystyle \Delta ^{q}}$

Para cada i , existe la incrustación

${\displaystyle \partial _{q,i}:\Delta ^{q-1}{\overset {\sim }{\to }}\{t_{i}=0\}\subset \Delta ^{q}.}$

Escribimos para el grupo de i -ciclos algebraicos en X y para el subgrupo generado por subvariedades cerradas que se intersecan adecuadamente con para cada cara F de . $Estilo de visualización Z_{i}(X)}$${\displaystyle z_{r}(X,q)\subconjunto Z_{r+q}(X\times \Delta ^{q})}$${\displaystyle X\veces F}$${\displaystyle \Delta ^{q}}$

Como es un divisor de Cartier efectivo, existe el homomorfismo de Gysin : ${\displaystyle \partial _{X,q,i}=\operatorname {id} _{X}\times \partial _{q,i}:X\times \Delta ^{q-1}\hookrightarrow X\times \Delta ^{q}}$

${\displaystyle \partial_{X,q,i}^{*}:z_{r}(X,q)\to z_{r}(X,q-1)}$,

que (por definición) asigna una subvariedad V a la intersección ${\displaystyle (X\times \{t_{i}=0\})\cap V.}$

Defina el operador de límite que produce el complejo de cadena. ${\displaystyle d_{q}=\suma _{i=0}^{q}(-1)^{i}\parcial _{X,q,i}^{*}}$

${\displaystyle \cdots \to z_{r}(X,q){\overset {d_{q}}{\to }}z_{r}(X,q-1){\overset {d_{q-1}}{\to }}\cdots {\overset {d_{1}}{\to }}z_{r}(X,0).}$

Finalmente, el q -ésimo grupo Chow superior de X se define como la q -ésima homología del complejo anterior:

${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\operatorname {H} _{q}(z_{r}(X,\cdot )).}$

(De manera más simple, dado que es naturalmente un grupo abeliano simplicial, en vista de la correspondencia Dold-Kan , los grupos de Chow superiores también pueden definirse como grupos de homotopía ). ${\displaystyle z_{r}(X,\cdot )}$${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\pi _{q}z_{r}(X,\cdot )}$

Por ejemplo, si ^[2] es una subvariedad cerrada tal que las intersecciones con las caras son propias, entonces y esto significa, por la Proposición 1.6. de la teoría de intersecciones de Fulton, que la imagen de es precisamente el grupo de ciclos racionalmente equivalentes a cero; es decir, ${\displaystyle V\subconjunto X\times \Delta ^{1}}$${\displaystyle V(0),V(\infty )}$${\displaystyle 0,\infty}$${\displaystyle d_{1}(V)=V(0)-V(\infty)}$$estilo de visualización d_{1}}$

${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,0)=}$el r -ésimo grupo de Chow de X.

Los mapas propios son covariantes entre los grupos de comida superiores, mientras que los mapas planos son contravariantes. Además, siempre que sea suave, cualquier mapa a es contravariante. ${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Y}$

Si es un fibrado vectorial algebraico, entonces existe la equivalencia de homotopía${\displaystyle E\to X}$

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,n)\cong {\text{CH}}^{*}(E,n)}$

Dado un subesquema equidimensional cerrado existe una secuencia exacta larga de localización${\displaystyle Y\subconjunto X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \\{\text{CH}}^{*-d}(Y,2)\a {\text{CH}}^{*}(X,2)\a {\text{CH}}^{*}(U,2)\a &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,1)\a {\text{CH}}^{*}(X,1)\a {\text{CH}}^{*}(U,1)\a &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,0)\a {\text{CH}}^{*}(X,0)\a {\text{CH}}^{*}(U,0)\a &{\text{ }}0\end{aligned}}}$

donde . En particular, esto muestra que los grupos de alimentos superiores extienden naturalmente la secuencia exacta de grupos de alimentos. $Estilo de visualización U=XY$

(Bloch 1994) demostró que, dado un subconjunto abierto , para , ${\displaystyle U\subconjunto X}$${\displaystyle Y=XU}$

${\displaystyle z(X,\cdot )/z(Y,\cdot )\to z(U,\cdot )}$

es una equivalencia de homotopía. En particular, si tiene codimensión pura, entonces produce la secuencia exacta larga para grupos de Chow superiores (llamada secuencia de localización). ${\estilo de visualización Y}$

• Bloch, Spencer (septiembre de 1986). "Ciclos algebraicos y teoría K superior". Advances in Mathematics . 61 : 267–304. doi : 10.1016/0001-8708(86)90081-2 .
• Bloch, Spencer (1994). "El lema móvil para grupos de Chow superiores". Journal of Algebraic Geometry . 3 : 537–568.
• Peter Haine, Una visión general de la cohomología motívica
• Vladmir Voevodsky, “Los grupos de cohomología motívica son isomorfos a los grupos de Chow superiores en cualquier característica”, International Mathematics Research Notices 7 (2002), 351–355.