Teorema de Bloch (análisis complejo)

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , el teorema de Bloch describe el comportamiento de las funciones holomorfas definidas en el disco unitario . Proporciona un límite inferior para el tamaño de un disco en el que existe una función inversa de una función holomorfa. Recibe su nombre en honor a André Bloch .

Sea f una función holomorfa en el disco unitario | z | ≤ 1 para lo cual

${\displaystyle |f'(0)|=1}$

El teorema de Bloch establece que existe un disco S ⊂ D en el que f es biholomorfo y f(S) contiene un disco con radio 1/72.

Si f es una función holomorfa en el disco unitario con la propiedad | f′ (0)| = 1, entonces sea L _f el radio del disco más grande contenido en la imagen de f .

El teorema de Landau establece que existe una constante L definida como el ínfimo de L _f sobre todas esas funciones f , y que L es mayor que la constante de Bloch L ≥ B .

Este teorema lleva el nombre de Edmund Landau .

El teorema de Bloch se inspiró en el siguiente teorema de Georges Valiron :

Teorema. Si f es una función entera no constante, entonces existen discos D de radio arbitrariamente grande y funciones analíticas φ en D tales que f (φ( z )) =  z para z en D .

El teorema de Bloch se corresponde con el teorema de Valiron a través del llamado principio de Bloch .

Primero demostramos el caso cuando f (0) = 0, f′ (0) = 1 y | f′ ( z )| ≤ 2 en el disco unitario.

Por la fórmula integral de Cauchy , tenemos un límite

${\displaystyle |f''(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f'(w)}{(wz)^{2}}}\,\mathrm {d} w\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2\pi r\sup _{w=\gamma (t)}{\frac {|f'(w)|}{|wz|^{2}}}\leq {\frac {2}{r}},}$

donde γ es el círculo en sentido antihorario de radio r alrededor de z , y 0 < r < 1 − | z |.

Por el teorema de Taylor , para cada z en el disco unitario, existe 0 ≤ t ≤ 1 tal que f ( z ) = z + z ² f″ ( tz ) / 2.

Por lo tanto, si | z | = 1/3 y | w | < 1/6, tenemos

${\displaystyle |(f(z)-w)-(zw)|={\frac {1}{2}}|z|^{2}|f''(tz)|\leq {\frac {| z|^{2}}{1-t|z|}}\leq {\frac {|z|^{2}}{1-|z|}}={\frac {1}{6}}< |z|-|w|\leq |zw|.}$

Por el teorema de Rouché , el rango de f contiene el disco de radio 1/6 alrededor de 0.

Sea D ( z ₀ , r ) el disco abierto de radio r alrededor de z ₀ . Para una función analítica g  : D ( z ₀ , r ) → C tal que g ( z ₀ ) ≠ 0, el caso anterior aplicado a ( g ( z ₀ + rz ) − g ( z ₀ )) / ( rg′ (0)) implica que el rango de g contiene a D ( g ( z ₀ ), | g′ (0)| r / 6).

Para el caso general, sea f una función analítica en el disco unitario tal que | f′ (0)| = 1, y z ₀ = 0.

• Si | f′ ( z )| ≤ 2| f′ ( z ₀ )| para | z − z ₀ | < 1/4, entonces en el primer caso, el rango de f contiene un disco de radio | f′ (z ₀ )| / 24 = 1/24.
• De lo contrario, existe z ₁ tal que | z ₁ − z ₀ | < 1/4 y | f′ ( z ₁ )| > 2| f′ ( z ₀ )|.
• Si | f′ ( z )| ≤ 2| f′ ( z ₁ )| para | z − z ₁ | < 1/8, entonces en el primer caso, el rango de f contiene un disco de radio | f′ ( z ₁ )| / 48 > | f′ (z ₀ )| / 24 = 1/24.
• De lo contrario, existe z ₂ tal que | z ₂ − z ₁ | < 1/8 y | f′ ( z ₂ )| > 2| f′ ( z ₁ )|.

Repitiendo este argumento, encontramos un disco de radio al menos 1/24 en el rango de f , lo que demuestra el teorema, o encontramos una secuencia infinita ( z _n ) tal que | z _n − z _{n −1} | < 1/2 ^{n +1} y | f′ ( z _n )| > 2| f′ ( z _{n −1} )|.

En el último caso la secuencia está en D (0, 1/2), por lo que f′ no está acotada en D (0, 1/2), una contradicción.

En la prueba del Teorema de Landau anterior, el teorema de Rouché implica que no solo podemos encontrar un disco D de radio al menos 1/24 en el rango de f , sino que también hay un pequeño disco D ₀ dentro del disco unidad tal que para cada w ∈ D hay un único z ∈ D ₀ con f ( z ) = w . Por lo tanto, f es una función analítica biyectiva de D ₀ ∩ f ⁻¹ ( D ) a D , por lo que su inversa φ también es analítica por el teorema de la función inversa .

El número B se denomina constante de Bloch . El límite inferior 1/72 del teorema de Bloch no es el mejor posible. El teorema de Bloch nos dice que B  ≥ 1/72, pero el valor exacto de B aún se desconoce.

Los límites más conocidos para B en la actualidad son

${\displaystyle 0.4332\approx {\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\times 10^{-14}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}\approx 0.47186,}$

donde Γ es la función Gamma . El límite inferior fue demostrado por Chen y Gauthier, y el límite superior se remonta a Ahlfors y Grunsky.

La constante óptima L definida de manera similar en el teorema de Landau se denomina constante de Landau . Su valor exacto también se desconoce, pero se sabe que

${\displaystyle 0.5<L\leq {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {5}{6}})}{\Gamma ({\frac {1}{6}})}}=0.543258965342...\,\!}$(secuencia A081760 en la OEIS )

En su artículo , Ahlfors y Grunsky conjeturaron que sus límites superiores son en realidad los valores verdaderos de B y L.

Para funciones holomorfas inyectivas en el disco unitario, se puede definir de manera similar una constante A. Se sabe que

${\displaystyle 0,5<A\leq 0,7853}$

• Tabla de constantes matemáticas seleccionadas

• Ahlfors, Lars Valeriano ; Grunsky, Helmut (1937). "Über die Blochsche Konstante". Mathematische Zeitschrift . 42 (1): 671–673. doi :10.1007/BF01160101. S2CID  122925005.
• Baernstein, Albert II; Vinson, Jade P. (1998). "Resultados de minimalidad local relacionados con las constantes de Bloch y Landau". Aplicaciones y análisis cuasiconformales . Ann Arbor: Springer, Nueva York. págs. 55–89.
• Bloch, André (1925). "Les théorèmes de M. Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l'uniformisation" (PDF) . Annales de la Facultad de Ciencias de Toulouse . 17 (3): 1–22. doi :10.5802/afst.335. ISSN  0240-2963.
• Chen, Huaihui; Gauthier, Paul M. (1996). "Sobre la constante de Bloch". Revista de Análisis Matemático . 69 (1): 275–291. doi :10.1007/BF02787110. S2CID  123739239.
• Landau, Edmund (1929), "Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten", Mathematische Zeitschrift , 30 (1): 608–634, doi :10.1007/BF01187791, S2CID  120877278

• Weisstein, Eric W. "Bloch constante". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Landau constante". MundoMatemático .